analyse

agm1991 · 2014-12-29, 12:45

مساعدة في حل تمرين في التحليل سنة 1
وجزاكم الله خيرا

XBEY · 2014-12-29, 13:57

اظن انه هناك خطا في التمرين
$0< a < b$

XBEY · 2014-12-29, 14:22

1
on montre que

$P(n) : Un\geq 0 \, \, et\, \, Vn\geq 0$

$P(o) : Uo\geq 0 \, \, et\, \, Vo\geq 0$
car a>0 et b>0 supposons P(n) est vraie jusqu'a lordre n

est montrons que P(n+1) est vraie

$U_{n+1}=\sqrt{UnVn}\geq 0 \, \, car\, \, Un\geq 0\, \, \, et \, \, Vn\geq 0$
$V_{n+1}=\frac{1}{2}(Un+Vn)\geq 0 \, \, car\, \, Un\geq 0\, \, \, et \, \, Vn\geq 0$
donc P(n+1) est vraie
2

on montre

$P(n) : Vn\geq Un$

i $V_{n+1}- U_{n+1}=\frac{1}{2}(Un+Vn)-\sqrt{UnVn}\geq 0$
car pour tout x et y reel positive
$\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$

$V_{n+1}- V_{n}=\frac{1}{2}(Un-Vn)-Vn=\frac{1}{2}(Un-Vn)\leq 0$
donc Vn décroissante

$U_{n+1}- U_{n}=\sqrt{(UnVn)}-Un\geq \sqrt{Un\times Un}-Un=0$
donc Un croissante
pour n>1
$\left | Vn-Un \right |=\left | \frac{1}{2}(U_{n-1}+V_{n-1}-2\sqrt{U_{n-1}V_{n-1}}) \right |$
$\left | Vn-Un \right |=\left | \frac{1}{2}(U_{n-1}+V_{n-1}-2\sqrt{U_{n-1}V_{n-1}}) \right |\leq \left | \frac{1}{2}(U_{n-1}+V_{n-1}) \right |$
$\leq \left | \frac{1}{2}(U_{n-1}+V_{n-1}) \right |\leq \left |\frac{1}{2}\frac{1}{2}(U_{n-2}+V_{n-2})\right |\leq ...\leq \left |(\frac{1}{2^{n}}(U_{0}+V_{0})\right|$
$0\leq \left | (Vn-Un) \right |\leq \left |(\frac{1}{2^{n}}(U_{0}+V_{0})\right|$

en passage a limite (théoréme gendarme)..
en obtient

$\lim_{n\rightarrow +\infty }(Vn-Un)=0$
donc Vn et Un adjacentes