...5 مقالات فلسفية في الرياضيات

ترشه عمار · 2010-02-22, 18:47

ترشة عمار - ثانوية حساني عبد الكريم - الوادي

.

......

هل يمكن إرجاع الرياضيات إلى أصول منطقية ؟؟؟

مقدمة : تعتبر الرياضيات علم الكم المجرد سواء كان هذا الكم منفصلا أو متصلا ، ونقصد بالأول العداد والتي هي موضوع الجبر والحساب ونقصد بالثاني الخطوط والأشكال والتي هي موضوع الهندسة ، وتعتمد الرياضيات في دراستها علم المنهج الاستدلالي بالطريقة الأستنتاجية التي يعتمد عليها القياس المنطقي ، فهل يعني هذا أن الاستدلال الرياضي هو مجرد صورة للاستدلال المنطقي ؟؟

التوسيع :

1 القضية : يرى المنطقيون أن الاستدلال الرياضي يعتمد على الاستدلال المنطقي وذلك من حيث الصورة البنائية ذلك أن الاستدلال الرياضي ينطلق من عملياته البرهانية من المبادئ إلى نتائج ، وهي نفس الصورة البنائية التي يعتمد عليها القياس المنطقي وإذا كنا في القياس المنطقي ننطلق من مقدمتين كبرى وصغرى للوصول إلى نتيجة فإننا في الاستدلال الرياضي ننطلق من مبادئ الرياضيات المتمثلة في ـ التعريفات ـ البد يهيات ـ المسلمات لنصل من خلالها إلى حل المسائل الرياضية أو المعادلات ، إذا لم تكن س هي نفسها س في جميع مراحل البرهنة وفقا لمبدأ الهوية ، كما أن التفكير الرياضي لا يقبل التناقض اعتمادا على مبدأ عدم التناقض وهو يظهر جليا باعتماد الرياضيات على المنطق وهو ما جعل راسل يقول : ( المنطق هو شباب الرياضيات ) ** مناقشة : إن هذه المقاربات لا تعني بالضرورة اعتماد الرياضيات على المنطق لا من حيث السيق التاريخي ولا من حيث الطبيعة الإنتاجية للاستدلال الرياضي واعتماده على اللغة الرمزية بالإضافة إلى الاستعمالات المتعددة في حين أن استعمال المنطق يبقى محصورا في مجالات محددة

. نقيض القضية : تظهر استقلالية الاستدلال الرياضي على القياس المنطقي من خلال الخصوبة التي تتمتع بها الرياضيات من حيث تعدد المبادئ وتطورها وعمق العمليات البرهانية وتعدد نتائجها مقابل العقم الموجود في المنطق بحيث أن نتائجه لا تأتي بجديد ، بل هي مجرد تحصيل لما هو حاصل كما أن الرياضيات تعتمد على لغة رمزية و هي أساس الدقة التي يمنع بها التفكير الرياضي في حين يعتمد المنطق على اللغة الطبيعية والتي تحدث باسمها المغالطات ، بالإضافة إلى مجالات الاستعمال بحيث يقتصر استعمال المنطق في المجالات الكلامية والأفكار المجردة والأقيسة الفكرية والعقائدية بينما تستعمل الرياضي في مجالات واسعة تكون من خلالها المفاتيح التي تعتمد عليها جميع العلوم الطبيعية والرياضية . منا قشة: إن هذا التمايز بين الرياضيات والمنطق لا ينبغي على الرياضيات اعتمادها على المنطق في جميع عملياتها البرهانية . التركيب : إن ظهور المنطق الرياضي الذي يعتمد على لغة رياضية رمزية يبين لنا مدى التكامل بين التفكير الرياضي والتفكير المنطقي خاصة وأنهما يشتركان في الطبيعة التجريدية

خاتمة : ومن هذا تستنتج أن الأصل المنطقي للاستدلال الرياضي يتمثل خاصة في الصورة الأستنتاجية التي يعتمد عليها البرهان الرياضي وهو صورة منطقية فلا يمكن أن نقيم البرهان الرياضي بدون احترام قواعد المنطق ، ولكن لا يعني هذا أن نحصر الرياضيات في حدود وضيفة المنطق .

الموضوع : ما الذي يميز الحقيقة الرياضية عن الحقيقة التجريبية ؟

المقدمة : إن غاية العلوم المختلفة هي الوصول إلى حقائق، تختلف بإختلاف طبيعة الموضوع فتكون مجردة كما هو الحال في الرياضيات، أو تجريبية كما هو الحال بالنسبة لعلوم المادة . فما الذي يميز الرياضيات عن علوم المادة ؟و ما الفرق بين الحقيقة الرياضية والحقيقة التجريبية ؟

التوسيع :.I – أوجه الاختلاف : تهتم الرياضيات بدراسة المفاهيم العقلية المجردة القابلة للقياس أما علوم المادة، فموضوعها الظواهر الطبيعية المختلفة الجامدة منها والحية.

إن اختلاف الموضوع يؤدي إلى اختلاف المنهج بحيث أن منهج الرياضيات منهج عقلي استنتاجي، يقوم على استخراج النتائج من المقدمات اللاّزمة عنها لزومًا ضروريا ومنطقيا.لأن معيار الصدق في الرياضيات هو تطابق الفكر مع ذاته دون مراعاة الواقع.

أما منهج العلوم الطبيعية فهو منهج إستقرائي ينتقل فيه العالم من دراسة العينات إلى إستخلاص القوانين وتعميمها. وهو منهج يعتمد على خطوات أساسية :

من ملاحظة – فرضية – تجربة وقانون. وعليه فإن طريقة الرياضي إستنتاجية ينتقل فيها من العام إلى الخاص، أما طريقة العالم فهي إستقرائية ينتقل فيها من الخاص إلى العام.

إن نتائج الرياضيات يقينية ثابتة لآن موضوعها المفاهيم العقلية المجردة ، التي لا يطرأعليها أي تغيير في حين أن نتائج علوم المادة ، نسبية متغيرة لآن موضوعها هو الواقع النسبي المتغير. وبما أن معيار الصدق فيها تطابق الفكر مع ذاته ومع الواقع كانت نتائجها نسبية متغيرة. لهذا يقول " كلود برنار" : إن مبدأ العالم الرياضي يصير مبدأ مطلقا لآنه لا ينطبق على الواقع الموضوعي كما هو، ولكن على علاقات الأشياء المأخوذة في شروط بسيطة يختارها الرياضي ويخلقها في فكرة بشكل من الأشكال.لكن هذا الإختلاف لا يعني عدم وجود عناصر مشتركة بينهما.

أوجه الشبه : كل من الرياضي وعالم المادة يفترض، ثم يستدل على صحة ما إفترض، وكلاهما ينطلق من فكرة يعرفها العقل.

الخاتمة :

نسبة الترابط : إن الرياضيات تعتبر مثل أعلى لجميع العلوم الواقعية التجريبية . نظرًا لدقتها ويقينها.ولذا تصاغ كل القوانين العلمية في قالب رياضي . وكمي، كما هو الحال بالنسبة للفيزياء، كصياغة "غاليلي" لقانون سقوط الأجسام في لغة رياضية. وكذلك" مندل "عندما صاغ قوانين الوراثة على شكل نسب مئوية....إلخ. ومنه فإن التعارض بين الرياضيات وعلوم المادة تعارض زائف لهذا رفض" غاستون باشلار" الفصل بينهما.

إذا كانت الرياضيات لا تقدم معرفة علمية تجريبية. ففيم تتجلى قيمتها؟ -bac.algerie -

I. المقدمة:

ـ تحديد معاني المصطلحات:

_ الرياضيات: علم استنتاجي, يتمثل في انتقال محكم للعقل من مقدمات إلى نتائج بغية

إثبات صحتها أو احتمالها أو خطئها.

_ لا تقدم معرفة علمية تجريبية: نفي المعيار التجريبي الرياضيات.

_ ففيم تتجلى قيمتها؟: طلب بيان دور الرياضيات في العلوم.

_ العلاقة المنطقية: سببية (البحث عن سبب القيمة).

- الإشكالية الفلسفية للموضوع:

_ إذا كانت الرياضيات صورية تجريدية، لا تقوم على التجربة مطلقا. فهل هذا

يستبعد كل دور لها في تطوير العلوم التجريبية واستعمالاتها أو تطبيقاتها؟

اقتراح موقف. مثلا: كون الرياضيات علم مجرد لا يستبعد دورها في تطوير العلوم

التجريبية واستعمالاتها.

ـ الحجة:

_ صياغة القوانين الفيزيائية على صورة دالة رياضية.

_ قياس نسبة المورثات في العلوم البيولوجية ( قوانين الوراثة الكلاسيكية والحديثة).

_ استخدام الرياضيات في العلوم الإنسانية (الإحصاء ـ قياس القدرات).

_ يتجلى كذلك دور الرياضيات من خلال هندسة الفضاء وبرمجيات الإعلام

الآلي.

ـ المناقشة "النقد":

_ قابلية المقادير الرياضية لعدة قراءات في العلوم الإنسانية والعلوم البيولوجية

يقلل من قيمتها العلمية.

_ دقة نتائج العلم لا تنسجم مع احتمالية التنبؤات العلمية.

_ دخول الرياضيات مجال العلوم لم يوحد بين طبيعة المعرفة العلمية وطبيعة

المعرفة الرياضية.

إذا كان العلماء يسعون إلى تحقيق دقة معارفهم بالاستعانة بالرياضيات لقيمتها

(الدقة ـ الاختصار ـ الصورية). فهل ما يطمح إليه العلماء من بلوغ معارفهم

العلمية مرتبة الرياضيات مشروع، ويمكن تحقيقه؟

التوجيهات الخاصة بهذا الموضوع

ـ الحدود الأساسية للموضوع: المعرفة العلمية التجريبية ـ قيمة الرياضيات.

ـ العلاقة المنطقية بين حدود السؤال: سببية (الرياضيات سبب في تطوير العلوم).

ـ تحديد المشكلة:

_ التباين بين الرياضيات كعلم صوري والعلوم التجريبية.

_ التداخل بينهما في المستوى الإجرائي.

المشكلة: تبدو ظاهريا في الشعور بمدى شكلية هذا التباين النظري وجدية التداخل العملي,

أماجوهرها فيتمثل في حاجة العلوم التجريبية إلى التطور الذي يرفعها إلى مرتبة

الرياضيات.

إقرار التداخل كموقف فلسفي.

ـ الحجة: قائمة على أساس إبراز أثر الرياضيات في العلوم.

ـ المناقشة "النقد": قائمة على محدودية هذ التأثير.

فتح مجال الطموح للارتقاء بالمعرفة العلمية والتساؤل عن مشروعيته.

ما قيمة الرياضيات؟

المقدمة:الرياضيات علم عقلي مجرد يقوم على البرهان، و يختلف بذلك عن العلوم التجريبية التى تقوم على التجربة، غير أن الرياضيات اليوم تحتل مكانة الصدارة بين العلوم التى لا تستطيع الاستغناء عنها، و اكتسب قيمة كبيرة، ففي ماذا تتمثل هذه القيمة ؟ إذا عرفنا أن الرياضيات علم مجرد لا يدرس لذاته، نتساءل الى أي مدى يمكن ان نتحدث عن قيمة الرياضيات؟

التحليل:تدرس الرياضيات المفاهيم الكمية المجردة القابلة للقياس، بطابع عقلي بحت، الأمر الذي مكنها من الوصول الى نتائج دقيقة وواضحة، تنتج عن المقدمات بطريقة اضطرارية وجوبية، مما يضفي عليها نوعا من الصرامة المنطقية التى تقومّ العقل، وتجعله لا تقع في الخطأ. فإذا قلنا أن 4=2+2=1+1 كانت 4=1+1+1+1 بالضرورة.
هذه الصرامة التى تجعل الرياضيات تمتاز بشكل ملحوظ عن غيرها من العلوم، فتنت أفلاطون فدعا الى إدخالها برنامج إعداد حكام المستقبل، و جعلها شرطا أساسيا للدخول الى أكادميته، غير أن قيمة الرياضيات لم تبرز بالشكل الذي نعرفه اليوم، إلا بعد دخولها عالم الطبيعة، وأصبحت القوانين الفيزيائية تصاغ على شكل علاقة رياضية دقيقة، هذه الدقة التى تعتبر شرط المعرفة العلمية. يرجع تاريخ دخول الرياضيات مجال الفيزياء الى القرن السابع عشر بفضل أعمال كيبلار(1571/1672)الذي صاغ القانون سقوط الأجسام، و ديكارت الذي قدر حركة الكواكب تقديرا كميا، حينها أدرك الإنسان انه لن يتمكن من الغوص في أعماق الطبيعة، للكشف عن أسرارها، إلا إذا تعامل معها بلغة رياضية. يقول غاليلي:" الطبيعة لا تجيب إلا عن الأسئلة المطروحة عليها بلغة رياضية ".
إن الرياضيات عنده هي اللغة التى تفهمها الطبيعة، و بدون الرياضيات ليس هناك مجال للحديث عن الفيزياء، هكذا يقول برانشفيك "إذا فقدت الفيزياء طابع التقدير الكمي للظواهر، صارت مجرد إحساس بكيفيات قابلة للوصف لا غير "، فالفيزياء عنده بدون رياضيات تصف ظواهرها، و الوصف أدب و ليس علما، كذلك دخلت الرياضيات مجال الكيمياء على يد الكيميائي الفرنسي لافوازيه(1743/1794) و مجال البيولوجيا على يد مندل (1822/1884)، حين وضع قوانين الوراثة، وأصبحت البيولوجيا لا تستعمل الرياضيات فحسب و غنما تتضمنها.
إن النجاح الكبير الذي أحرزته علوم المادة في استخلاص العلاقات بصيغ كمية، مكنها في التحكم في الكثير من الظواهر، مما جعل العلوم الإنسانية بدورها تعمل على إدخال الرياضيات مجالها ـ لتقترب من الدقة التى تمكنها من الانظمام الى مجموعة العلوم. فاستخلصت قوانين صياغتها على شكل معادلات رياضية، أو مخططات بيانية، أو نسب مئوية كما نرى في الإحصاء، الذي يعتمد عليه الباحثون في علم الاجتماع. لا احد يستطيع أن ينكر اليوم، ونحن في القرن الواحد و العشرين، القيمة الكبيرة للرياضيات، التى مكنتنا من احتلال مكانة الصدارة بين العلوم و المعارف جميعها. وكانت ثقة الإنسان في الرياضيات كوسيلة لبلوغ الحقيقة التى حلم بها طويلا، لا يتخللها شك أو ريب، بفضل لغة الأعداد، وما تمتاز به من الدقة. إن التقدم المذهل و النجاح الكبير للتكنولوجيا المعاصرة في حضارتنا المادية، ليس إلا برهانا على صحة الرياضيات، وعنوان صدقها، مما يمكننا من القول مع برانسفيك:" أن العمل الحر الخصب للفكر، يبدأ من العصر الذي جاءت فيه الرياضيات، فزودت الإنسان بالمعيار الصحيح للحقيقة " لا يستعمل الإنسان الأعداد في العلوم و التكنولوجيا فحسب، وإنما يستعملها أيضا في حياته اليومية، لتكون أكثر دقة و انضباطا، وأصبحت مقولة الفيثاغوريين " الأعداد تهيمن على العالم " ليست خيالا، و إنما واقع يعيشه الإنسان، يجعله يتعرف بقيمة الرياضيات و فضلها عليه.

لكن ماذا إذا توقفها قليلا، ونظرنا الى الرياضيات كعلم قائم بذاته منفصل عن العلوم ؟ هل يمكن ان تكون لها، في حد ذاتها، نفس القيمة التى اكتسبتها كونها وسيلة ؟ و ما نحن متأكدون منه ان الرياضيات اكتسبت قيمتها لما استعملتها العلوم لغة تتكلم بها، وإن دعوة البعض من المعجبين بها الى دراستها كغاية في ذاتها، مثلما درس المنطق الصوري كغاية في ذاته في القرون الوسطى، خطأ كبير يجعل مصيرها نفس مصير الميتافيزيقا اليوم. ولا يعني هذا أننا نقلل من شأن الميتافيزيقا، ولكن ما نعنيه ان الإنسان اليوم، المتشبع بالروح الوضعية، لا يولي اهتماما كبيرا بها كعلم مجرد بعيد عن الواقع، بالرغم من نداءات كثيرة من الفلاسفة الذين حاولوا أن يردوا لها اعتبارها في زمن العلم و التكنولوجيا.

ما هي الرياضيات بمعزل عن العلوم ؟ إنها علاقة عقلية مجردة تربط منطقيا بين القضايا، أليست الميتافيزيقا علاقات عقلية مجردة تربط منطقيا ؟ لا نعتقد أن الرياضيات بمعزل عن العلوم ستجد من يهتم بها سوى بعض المعجبين الذين يجدون فيها متعة خالصة. أما عن قول فردناند (1866/1952):أن بالعمليات الرياضية وحدها يمكن الكشف عن أسرار الطبيعة، يضفي على الرياضيات طابعا سحريا، و يبعدها عن الواقع. إن الرياضيات لا تستطيع معرفة الطبيعة إلا إذا اتصلت بها. دخول الرياضيات مجال الفيزياء " و عقلنة الطبيعة " لا يعني أن الرياضي يمكنه أن يعمد الى نوع من التأهيل العقلي ليصل الى المعرفة أسرار الكون، بل بالعكس معرفة الطبيعة تكون بفضل التجربة التى تكشف عن أسباب الظواهر، ثم تتدخل الرياضيات، بعد ذلك، لتعبر عنها بلغة الأعداد الدقيقة. إن الإنسان لا يدرس الرياضيات كغاية، وإنما يدرسها كوسيلة تستعملها العلوم بعد كشفها عن العلاقات بين الظواهر، لتعبر عنها بعد ذلك بأسلوب الكم. لنقل أن الرياضيات خادمة العلوم، التى هي سيدتها.
و يجدر بنا أن نشير الى كون الرياضيات وسيلة العلوم، لا ينفي عنها كل قيمة في ذاتها. فإن الرياضيات تعتبر بحق أفضل و أنسب علم يعلم العقل كيف يجرد أفكاره و يقدمها في تسلسل منطقي محكم. فتعرف الإنسان بخفايا عقله، و قدرته على الغوص في أعماق العالم المجرد. وإذا كانت العلوم تعلمنا حقيقة الطبيعة، فإن الرياضيات تعلمنا حقيقة الفكر.
أما التهمة التى وجهت إليها، على أنها مجرد قضايا عقلية مجردة بعيدة عن الواقع، فيمكن ردها: إن الرياضيات اليوم تبدو متلائمة مع الواقع. يقول لوتمان:" إن التصورات الرياضية تتمثل ككائنات عقلانية يضعها العقل في تلاؤم مع الطبيعة و الكون ". و الدليل أن تصورات ريمان للمكان وجدت عالما يناسبها في الفيزياء إنشتاين التى تطبقها.

الخاتمة:وهكذا نستنتج أن الرياضيات وسيلة أكثر مما هي غاية، وإن كانت تفيد الإنسان كغاية، فإنها تفيد أكثر كوسيلة، تستعملها العلوم للكشف عن أسرار الطبيعة، و بلوغ الحقيقة، فإذا كانت الرياضيات قد أكسبت العلوم قيمة بفضل أسلوبها الدقيق، فإن العلوم قد أكسبت الرياضيات قيمة، كلغة لا يمكن التخلي عنها، في سعي الإنسان نحو الحقيقة.

نص السؤال : هل الرياضيات علم عقلي بحت ؟

تختلف الرياضيات عن العلوم الحسية في كونها تستمد موضوعها من التصورات الذهنية الإنشائية لقضايا مجردة تتعلق بالمقادير الكمية في حين أن العلوم الأخرى تقوم على وصف الأشياء الواقعية الحسية الموجودة فعلا . و هذا يجعل الرياضيات لا تبحث في موضوعاتها من حيث هي معطيات حسية بل من حيث هي رموز مجردة مجالها التصور العقلي البحت فإذا كان مدار البحث الرياضي هو المفاهيم أو المعاني أو الرموز الرياضية فهل هذه المعاني أشياء ذهنية من ابتكار العقل لا غير ؟ أو بمعنى آخر هل الرياضيات إبداع عقلي خالص لا صلة لها بالتجربة الواقعية ؟
الرياضيات علم عقلي لا صلة له بالواقع :
يرى أنصار الاتجاه العقلي والمثالي أن مبادئ المعرفة فطرية . وأن المفاهيم الرياضية موجودة في العقل قبليا (أي قبل التجربة) فعملية الجمع , و الخط المستقيم والمثلث هي معاني رياضية حاصلة في العقل بالفطرة . وقد حاول أفلاطون في محاورة مينون – وهو عبد جاهل للهندسة استطاع أن يكتشف بنفسه كيف يمكن إنشاء مربع – إثبات أن العلم قائم في النفس بالفطرة , والتعلم مجرد تذكر له وليس اكتسابا من الواقع , وهو ما نجده عند ديكارت بمعنى يختلف عن أفلاطون قليلا حيث أن المعاني الفطرية ليست واضحة بذاتها بل حاصلة في النفس بالاستعداد والقابلية . ولقد انفتحت مع ديكارت آفاق واسعة أمام الرياضيات . فراحت تحلق في عالم التجريد وتشيد أبراجا ذهنية تزداد بعدا عن الواقع الحسي , فالأعداد الكسرية , و الدائرة ... ليس لها ما يقابلها في عالم الواقع ... وقد تحولت الرياضيات كلها إلى عمليات جبرية لا تخضع إلا لقواعد المنطق حتى كادت أن ترد إليه . كما أن الفكر العربي قد اعتبر الموضوعات الرياضية موضوعات عقلية يتم استخلاصها عن طريق عمليتي التجريد والتعميم وفي هذا يقول الفارابي :" علم العدد النظري يفحص عن الأعداد على الإطلاق ... وإن الهندسة النظرية إنما تنظر في خطوط وسطوح و أجسام على الإطلاق والعموم " ... كما كانت للعرب إبداعات عديدة في هذا الميدان حتى أن البعض منها ما يزال ذا صلة باسم مخترعيه مثلا اللوغاريتم الذي يرتبط باسم الرياضي العربي الشهير الخوارزمي وهو مخترع علم الجبر .
لكن الرياضيات بمفاهيمها المختلفة وبكل ما تتمتع به من تجريد إلا أنها ليست مستقلة عن المعطيات الحسية , فالدراسات المتتبعة للفكر الرياضي تكشف جوانبه التطبيقية .
الرياضيات علم يرتبط بالواقع وينطلق منه :
يذهب أنصار الاتجاه الحسي أو التجريبي إلى أن التفكير الرياضي كان مرتبطا بالواقع و أن الحضارات الشرقية القديمة استخدمت طرقا رياضية في مسح الأراضي الزراعية وفي الحساب فكانت الرياضيات وليدة الملاحظة و التجربة , فالهندسة في مصر القديمة نشأت على صورة فن المساحة , كما أن البابليين استخدموا الهندسة والحساب في تنظيم الملاحة والفلاحة والري .
وهكذا نلاحظ أن الرياضيات كانت في الأصل تجريبية خاضعة لتأثيرات صناعية عملية و أن الأساس الذي بنى عليه اليونان صرحهم الرياضي النظري هو الرياضيات العملية التي عرفتها الحضارات الشرقية القديمة . و لعل هذا ما دفع " جون لوك " إلى الرد على ديكارت بأنه لا وجود لمعاني فطرية في النفس لأن الأطفال والبله والمتوحشين لا يعرفونها . كما يؤكد " كوندياك " على أن الإحساس هو المنبع الذي تنبجس منه جميع قوى النفس . مما يعني أن بداية الرياضيات كانت بداية حسية انطلاقا من تعامل الإنسان مع الأشياء التي تحيط به كالعد بالأصابع أو الحصي وترتيب الأشكال ثم تدرج شيئا فشيئا في تجريد الأعداد والأشكال فاكتسبت هذه الأخيرة صورتها المجردة فاستخرج الإنسان قوانينها فأصبحت علما نظريا , وعليه يكون فن المساحة العملي قد سبق علم الهندسة النظري , وفن الآلات قد سبق علم الميكانيك . فاهتدى الفكر البشري بصورة عملية إلى معرفة خواص الأشكال والآلات قبل أن يتوصل إلى البرهان عليها .
لكن التصورات التي تربط كلا من الهندسة والحساب بالتطبيقات العملية والحاجات الاجتماعية تختلف اختلافا جذريا عن التصور الجديد للعلم الرياضي الذي أصبح موضوعه ماهيات ذهنية تتمتع بالاستقلال التام عن الواقع .
الرياضيات مشخصة قبل أن تكون عقلية :
إن الرياضيات كعلوم عقلية نظرية قامت في الأصل على أمور مادية تجريبية ثم تمكن العقل بعد ذلك من تجريدها وانتزاعها من مادتها تدريجيا فأصبحت عقلية خالصة . فعالم الهندسة اليوم لا يهمه أن يكون المثلث الذي يبحث فيه من الخشب أو الحديد بل الذي يعنيه هو المثلث الذي تصوره و عرفه ووضع له مفهوما يصدق على كل مثلث . وفي هذا الصدد يرى جون بياجي أن الرياضيات عبارة عن نشاط إنشائي وبنائي يقوم به العقل ويعطي التجربة صورتها وخلال ذلك يتهيكل هذا النشاط في حد ذاته . بمعنى أن العقل لا يحتوي على أطر مسبقة بل فيه قدرة على الإنشاء . كما يقول جورج سارطون : " إن الرياضيات المشخصة هي أولى العلوم الرياضية نشوءا , فقد كانت في الماضي تجريبية ثم تجردت من هذه التأثيرات فأصبحت علما عقليا " .
إن الواقع الحسي كان منطلق التفكير الرياضي , فلم يدرك العقل مفاهيم الرياضيات في الأصل إلا ملتبسة بلواحقها المادية , و لكن هذا التفكير تطور بشكل مستمر نحو العقلية الخالصة إذ انتزع العقل مادته وجردها من لواحقها حتى جعل منها مفهوما عقليا محضا مستقلا عن الأمور الحسية التي كانت ملابسة له وبهذا أصبحت الرياضيات بناء فكري يتم تشييده بواسطة فروض يقع عليها الاختبار دون النظر إلى صدقها أو كذبها في الواقع , بل الصدق الوحيد المطلوب هو خلو هذا البناء من أي تناقض داخلي وعليه فالرياضيات علم عقلي.

الإشكال:هل ترى أن المفاهيم الرياضية في تطورها نابعة من التجربة أم من العقل ؟

لقد انقسم المفكرون في تفسير نشأة المفاهيم الرياضية إلى نزعتين ،نزعة
عقلية أو مثالية يرى أصحابها أن المفاهيم الرياضية من ابتكار العقل دون
التجربة ،ونزعة تجريبية أو حسية يذهب أنصارها إلى أن المفاهيم الرياضية
مهما بلغت من التجريد العقلي فإنها ليست من العقل في شي وليست فطرية ؛بل
يكتسبها الإنسان عن طريق تجاربه الحسية فما حقيقة الأمر ؟فهل المفاهيم
الرياضية في نموها انبثقت من التجربة أم من العقل ؟
يرى أصحاب الاتجاه المثالي أو العقلي أن المفاهيم الرياضية نابعة من العقل
وموجودة فيه قبليا فهي توجد في العقل قبل الحس أي أن العقل لم يفتقر في
البداية إلى مشاهدة العالم الخارجي حتى يتمكن من تصور مفاهيمه وإبداعها وقد
كان على رأس هذه النزعة أفلاطون الذي يرى أن المعطيات الأولية الرياضية
توجد في عالم المثل فالخطوط والأشكال والأعداد توجد في العقل وتكون واحدة
بالذات ثابتة وأزلية يقول أفلاطون(إن العلم قائم في النفس بالفطرة والتعلم
مجرد تذكر له ولا يمكن القول أنه اكتساب من الواقع المحسوس)؛فهو يرى أن
المفاهيم الرياضية لا ندركها إلا بالذهن وحده ،فالتعريفات الرياضية مجالها
ذهني ولا تتحقق إلا بواسطة العقل دون حاجة إلى المحسوسات فالتعريفات
للحقائق الرياضية واحد لا يتغير واضح متميز وعلى شاكلة هذا الطرح ذهب
ديكارت إلى أن الأعداد والأشكال الرياضية أفكار لا يجوز فيها الخطأ وفي هذا
يقول (إنها ما ألقاه الله في الإنسان من مفاهيم)أي بمعنى المفاهيم الرياضية
ويؤكد مالبرانش من جهته ذلك حيث يقول(إن العقل لا يفهم شيئا ما إلا برؤيته
في فكره اللانهائي التي لديه وأنه لخطأ خالص أن تظن ما ذهب إليه فلاسفة
كثيرون من أن فكره اللانهائي قد تكونت من مجموعة الأفكار التي تكونها عن
الأشياء الجزئية بل العكس هو الصحيح ،فالأفكار الجزئية تكتشف وجودها من
فكره اللانهائي كما أن المخلوقات كلها تكتسب وجودها من الكائن الإلهي الذي
لا يمكن أن يتفرع وجوده عن وجودها )إننا فيم يقول لم نخلق فكرة الله ولا
فكرة الامتداد بكل ما يتفرع عنها من حقائق رياضية وفيزيائية فقد جاءت إلى
عقولنا من الله و يمكن أن نضم كانط إلى هذه النزعة رغم أنه كان يقصد
التركيب بين التفكير العقلي والتفكير الحسي فهو يرى أن الزمان والمكان
مفهومان عقليان قبليان سابقان لكل معرفة تجريبية ويؤطرانها وهم يرون أن هذه
الحقائق تدعم نظرتهم وهي كالتالي :إن الملاحظة لا تكشف لنا على الأعداد بل
على المعدودات كذلك أن المكان الهندسي الذي نتصوره على شكل معين يشبه
المكان الحسي الذي نلاحظ بالإضافة إلى أن الخط المستقيم التام الاستقامة لا
وجود له كذلك بعض القوانين كالعلاقات بين الأشكال كما أن الكثير من المعاني
الرياضية مثل 0.7 لا ترجع إلى الواقع المحسوس .
إن القول بهذا الرأي لم يصمد للنقد ذلك أنه مهما تبدو المعاني الرياضية
مجردة فإنه لا يمكن القول بأنها مستقلة عن الواقع الحسي و إلا فكيف نفسر
الاتجاه التطبيقي للهندسة لدى الشعوب القديمة خاصة عند الحضارات الشرقية في
استخدامها الطرق الرياضية في الزراعة والحساب وهذا ما يدل على ارتباط
الرياضيات أو التفكير الرياضي بالواقع .
وعلى عكس الرأي السابق نجد أصحاب المذهب الحسي أو التجريبي مثال جون لوك
*دافيد هيوم* جون ستورات مل يرون أن المفاهيم الرياضية في رأيهم مأخوذة-مثل
جميع معارفنا- من صميم التجربة الحسية ومن الملاحظة العينية ،فمن يولد
فاقدا لحاسة فيما يقول هيوم لا يمكن بالتالي أن يعرف ما كان يترتب على
انطباعات تلك الحاسة المفقودة من أفكار فالمكفوف لا يعرف ما اللون والأصم
لا يعرف ما الصوت ،إن الانطباعات المباشرة التي تأتينا من العالم الخارجي
هي بمثابة توافد للأفكار ومعطيات للعقل ،ونجد جون ستوارت ميل يرى (أن
المعاني الرياضية فيما يقول والخطوط والدوائر التي يحملها كل واحد في ذهنه
هي مجرد نسخ من النقط والخطوط والدوائر التي عرفها في التجربة ) ،وهناك من
الأدلة والشواهد من الواقع النفسي ومن التاريخ ما يؤيد هذا الموقف ،فعلم
النفس يبين لنا أن الأعداد التي يدركها الطفل في بادئ الأمر كصفة للأشياء
ولكنه لا يقوى في سنواته الأولى على تجريدها من معدوداتها ثم أنه لا يتصور
إلا بعض الأعداد البسيطة فإذا ما زاد على ذلك قال عنه (كثير ) فمثلا لو
أعطينا طفل ثلاث حبات زيتون وأعطينا بالمقابل أخاه الأكبر خمس حبات فنلاحظ
أن الطفل الصغير يشعر بضيق كبير لأنه يرى أن حصته أقل من حصة أخيه لكن حكمه
لا يستند إلى أن حصة أخيه الأكبر تفوقه بـ (2) لأن هذه العملية تتطلب منه
النظر إلى كمية الزيتون باعتبارها وحدات مجردة من منافعها ثم طرح مجموع
الوحدات التي لديه من مجموع الوحدات التي كانت من نصيب أخيه وهذه العملية
ليس بوسع الطفل القيام بها في مرحلته الأولى ،كذلك أن الرجل البدائي لا
يفصل هو الآخر العدد عن المعدود فقد كان يستخدم لكل شيء كلمة خاصة به فمثلا
العدد(2) يعبر عن جناحي الطير والعدد (4) يعبر عن قدمي الطير وقد كان لليد
تأثير كبير في الحساب حتى قال أسبيناس أنها أداة الحساب ،إذن فالمفاهيم
الرياضية بالنسبة لعقلية البدائي والطفل لا تفارق مجال الإدراك الحسي
وكأنها صفة ملامسة للشيء المدرك كالطول والصلابة .أما من التاريخ فتاريخ
العلوم يدلنا على أن الرياضيات قبل أن تصبح علما عقليا قطعت مرحلة كلها
تجريبية ودليل ذلك أن العلوم الرياضية المادية هي التي تطورت قبل غيرها
فالهندسة كفن قائم بذاته سبقت الحساب والجبر لأنها أقرب للتجربة ويظهر أيضا
أن المفاهيم الرياضية الأكثر تجريدا أخذت نشأتها بمناسبة مشاكل محسوسة مثل
تكعيب البراميل وألعاب الصدفة التي عملت على ظهور حساب الاحتمالات .
إنه لمن الواضح أن العلم لا يجد أية صعوبة في تطبيق هذه المعاني ولكن هذا
لا يعني أن ننكر دور العقل في تحصيل هذه المعاني ولهذا ظهر الاتجاه
التوفيقي بين الطرفين .
إن الخطأ الذي وقع فيه المثاليون والتجريبيون هو أنهم فصلوا العقل عن
التجربة والحق أنه لا وجود لعالم مثالي أو عقلي ولأعداد وأشكال هندسية
تتمتع بوجود لذاتها مثل الأفكار الأفلاطونية والقوالب الكانطية القبلية
ونجد جون بياجي الذي يرى أن للعقل دورا إيجابيا ذلك أن عملية التجريد
واكتساب المعاني عمل عقلي ويرى في المقابل أن العقل لا يحمل أي معاني فطرية
قبلية بل كل ما فيه قدرة على معرفة الأشياء وتنظيمها ويرى كذلك جون سارتون
أن العقل لم يدرك المفاهيم الرياضية إلا من جهة ارتباطها بلواحقها المادية
ولكنه انتزعها بالتجربة من لواحقها حتى أصبحت مفاهيم عقلية بحتة ،وأيضا نجد
بوانكاري يقول (لو لم يكن في الطبيعة أجسام صلبة لما وجد علم الهندسة
فالطبيعة في نظره بدون عقل مسلط عليها لا معنى لها يقول أحد العلماء
الرياضيين (إن دراسة معمقة للطبيعة تعد أكثر المنابع إثمارا للاكتشافات
الرياضية)
لا شك أن التجربة كانت في البداية منطلق التفكير الرياضي ومنه له ولكن منذ
ذلك العهد أصبح من الصبياني طرح مشكلة أسبقية العقل أو التجربة في نشوء هذا
التفكير لأن هذا التفكير الرياضي تطور بصفة مستقلة نحو النطاق أو المملكةالعقلية الخالصة ،رغم الفارق الذي يظهر بين التجربة من جهة والمجرد العقلي

من جهة أخرى فإن اللغة الرياضية تبقى نافعة جدا في معرفة العالم المحسوس.معرفة علمية

منقول للاستفادة

لا تنسونا بدعواتكم

من وجد ذاته فماذا فقد...؟ و من فقد ذاته فماذا وجد ...؟ !

fat-21 · 2010-02-22, 20:11

اللهم يسر أمره و فرج كربه و بارك له فيما علمته آمين

بن عرفة · 2010-02-25, 06:58

شكرا على المقالات الرائعة وجزاك الله خيرا

بن عرفة · 2010-02-25, 07:00

هل يمكن إخضاع ظواهر المادة الحية لمبدأ الحتمية ؟؟؟
عرف الإنسان بعد اكتشاف المنهج التجريبي حركة فكرية نشيطة عملت على فصل العلوم عن الفلسفة ، وكانت الدعوة إلى التخلي عن التفسير الغائي على أساس أن أية دراسة لا تكون علمية إلا إذا فسرت ظواهرها بالأسباب الفاعلة التي إذا تكررت معها نفس النتائج ، إذا كانت البيولوجيا لكي تقوم يجب عليها دراسة ظواهرها دراسة علمية ، هل هنا يعني أن البيولوجيا يجب أن تفسر ظواهرها تفسيرا أليا ( بالأسباب الفاعلة ) وتخضع لمبدأ الحتمية ؟ لكن المادة الحية تمتاز بالحياة والتكامل ، على غرار المادة الجامدة وكأنها وجدت لغاية حددت من قبل ، هل هذا يعني أن المادة الحية بخلاف المادة الجامدة يجب تفسير ظواهرها بالأسباب الغائية ؟ إذا عرفنا مرة أخرى أن التفسير الغائي عقيم علميا وعمليا ، المشكل المطروح * هل يمكن أن نفسر ظواهر المادة الحية بالأسباب الفاعلة فتقوم البيولوجيا أم لا ؟ ـ أعجب أصحاب المذهب الآلي بالنتائج العلمية والعملية التي حققتها الحتمية في ميدان العلوم الطبيعية فرأو أن البيولوجيا إذا أرادت أن تقوم كعلم يجب أن تخضع هي أيضا ظواهرها لمبدأ الحتمية ، وتفسرها بالأسباب الفاعلة ، التي إذا تكررت تتكرر معها نفس النتائج الأمر الذي يمكنها من الكشف عن العلاقات الثابتة بين الظواهر والتحكم فيها ولا شيء يمنع من ذلك مادام الكائن الحي يتكون من نفس المواد التي نجدها في الطبيعة ، وكذلك التفاعلات التي تحدث في المعدة هي نفسها التفاعلات التي تحدث في المخابر ، فلا تكون الدورة الدموية سوى عملية ميكانيكية تخضع لنفس قوانين الميكانيكا المعروفة في الفيزياء ، يقول علي الياقي عن الآليين : إذ يبدو لهم الجسم المتعضي الحي بمثابة آلة اعتيادية من نموذج فيزيائي كيماوي معا تشكله قوانين و وظائفه تشبه إلى حد بعيد القوانين التي تستند إليه الآلات أما عن الاختلاف بينهما فيمكن في درجة التعقيد فقط يقول والفرق الأساسي عندهم بين المادة المتعضية والمادة الجامدة ، يقوم على درجة الاشتباك والتعقيد أما عن تكوين الكائن الحي ، فإنه تكون عندهم بنفس الطريقة التي تكون بها البترول في الطبيعة تجمع مواد وتفاعل مواد ، ولا داعي لمحاولة تفسير وجودها بغايات قصديه ، فالعين لم تخلق لغاية الإبصار، وإنما وجدت نتيجة لاتفاقات كثيرة ، ثم قامت الطبيعة بعملية الانتخاب ، فما كان نافعا أبقته ، وما كان ضارا أزال كما يقول داروين أما عن الوظيفة التي يقوم بها العضو فتكوينه هو الذي يحددها بطريقة آلية ، فالإنسان يبصر لأن له عينين ، وليس عينان لكي يبصر ، الآليون ينكرون كل تفسير ديني ميتافيزيقي لوجود الكائنات الحية ، وذهبوا إلى حد القول أن الإنسان لم يوجد على هذا الشكل ، وإنما مر في وجوده بعدة مراحل تطورية ، فكرة نجدها عند ديكارت نفسه الذي يؤكد أننا نفهم طبيعة الأشياء أكثر عندما ننظر إليها على أنها تكونت شيئا فشيئا ، أكثر مما نفهمها عندما ننظر إليها على أنها وجدت دفعة واحدة . وكذلك عند دوثردان الذي يرى ان التطور ليس فرضية ، ولكنه التعبير الملائم الحياة . وعند فاندنروك الذي يقول : كلما عرفنا الكائن الحي كلما اصبحت فكرة التطور بديهية ، فيحتم علينا تفسير ظواهر المادة الحية ، كما تفسير ظواهر المادة الجامدة تماما . * لكن كيف يمكن للآليين ان يفسرو المادة الحية بنفس الطريقة التي يفسرون بها المادة الجامدة وشتان بين المادتين ؟ المادة الجامدة مادة هامدة ليس فيها حياة بينما المادة الحية مادة تمتاز بالحياة يربط أجزائها نوع من التكامل الكبير الذي يدل على وجود غاية يهدف اليها ، هكذا يستبعد برغسون الذي تصدى للمبدأ الآلي . وحدوث المصادفة أو التنظيم العفوي في وجود الكائنات الحية ونشوئها ، ويفسر تكامل اعضاء الكائنات الحية بالقوة الحيوية التي تدفع دوما الى الكائن الكامل ، ان الأعضاء وجدت لضرورة القيام بالوظائف التي حددت لها من قبل وليس العكس ، ان محاولة