@@ رياضيات @@ مع الاعداد @@ تم تجميع كل ما يتعلق بهذا العلم @@

[dahi95]

اهداء لزوار هذا المنمتدى العزيز

مقدمة الأعداد الأولية الأعداد الأولية الواحدية التكرارية الأعداد الأولية المتناظرة الأعداد المقتصدة والأعداد المبذرة الأعداد التامة الأعداد المتحابة العدد اللغز p تقريبات العدد p حياة رامانوخان علاقة رامانوخان بالعدد p مراجع

انشغل الرياضيون منذ قديم الزمان بالأعداد وطوروا مفهومها ووسعوا مجموعاتها فانتقلوا، كما هو معلوم، من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الصحيحة ثم إلى الأعداد الناطقة تلتها مجموعة الأعداد الحقيقية ثم مجموعة الأعداد المركبة (العقدية). وقد يعتقد البعض أن دراسة المجموعة الأولى (مجموعة الأعداد الطبيعية) انتهت منذ عهد بعيد. أما المختصون فلهم في هذا الموضوع رأي آخر ... هناك تساؤلات تبدو لعامة الناس بسيطة لكن الإجابة عنها لدى المختصين عسيرة.
إن ما نجهله بخصوص هذه العداد يفوق ما نعلمه عنها. ولا زال المختصون في نظرية الأعداد يكدون لمعرفة المزيد من عجائب هذه الكائنات. والواقع أن معالجة هذه الأعداد التي يعرفها الجميع، رياضيون وغير رياضيين، تتعمق يوما بعد يوم وتستخدم أحدث الأجهزة للغوص في متاهاتها. والأعداد الطبيعية ليست الوحيدة التي شغلت بال الرياضيين، فهناك على سبيل المثال العدد p الذي لم تنته الحسابات بشأنه إلى اليوم. نريد في هذا المقام التعرف عن انشغالات الباحثين في هذا العالم الغريب الذي يزداد غرابة يوما بعد يوم.

من منا لا يعرف الأعداد الأولية؟ فهي الأعداد التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها أو 1 مثل 3، 7، 17، 19، 29، ... من المعلوم أن قائمة الأعداد الأولية لا تنتهي أبدا. فهي تنبت في حقل الأعداد مثل الأعشاب الضارة ولا يمكن التنبؤ بمواقعها لكونها لا تخضع في الظاهر إلا للصدفة. والأصح أن نقول أننا لم نكتشف بعد جملة القوانين التي تتحكم في ظهور هذه الأعداد الملفتة للانتباه. وكان القدماء قد بحثوا عنها يدويا فعينوا منها الكثير. ثم لجأ الباحثون إلى الآلة لمواصلة اكتشاف خواص هذه الأعداد. فاستعملوا مئات الحاسوبات التي تعمل ليلا نهارا على إيجاد المزيد من الأعداد الأولية سعيا لمعرفة المزيد من الخواص. وقد قارن بعضهم دور الأعداد الأولية في عالم الأعداد بالعناصر الكيميائية في عالم الكيمياء وموادها المختلفة. وهكذا كُتبت ولازالت تكتب آلاف الصفحات من الرياضيات المعقدة حول هذه الأعداد.
وللتعرف على الأعداد الأولية هناك الطريقة التقليدية المسماة "غربال إيراتوستين"ratosthène (حوالي قرنين قبل الميلاد) الذي يتمثل في كتابة قائمة الأعداد الطبيعية بالترتيب المتزايد ثم نقوم بشطب مضاعفات الأعداد الأولية المتوالية. وما لم يشطب في آخر المطاف هي الأعداد الأولية. لقد ظلت هذه الطريقة الأكثر فعالية لتحديد الأعداد الأولية الصغيرة (الأصغر من مليون مثلا) لكنها تفقد فعاليتها العملية رغم صحتها النظرية كلما تعاملنا مع الأعداد الكبيرة.
أثبت ذلك العلامة الإغريقي أقليدس Euclide (القرن الثالث قبل الميلاد). كيف ذلك؟ ليكن n عددا طبيعيا أوليا و P جداء الأعداد الأولية الأصغر من n. إن العدد P+1 عدد أولي أكبر تماما من n. أثبت ذلك ... ذلك ما أثبته أقليدس ليبين أن كل عدد أولي له عدد أولي أكبر منه تماما. وكان برهان أقليدس، فيما يبدو، أول برهان بالخلف قدم في الرياضيات. ومنه نستنتج أن عدد الأعداد الأولية غير منته. تلك هي إحدى خاصيات الأعداد الأولية. وهناك أيضا خاصيتان أخريان :
- تفكيك عدد طبيعي الى جداء أعداد أولية تفكيك وحيد.
- ليست هناك صيغة جبرية لتمثيل عدد أولي.
هناك ملاحظة لابد منها في هذا المقام : هل 1 عدد أولي أم لا؟ من الممكن ضمه الى مجموعة العداد الأولية، إلا أن الرياضيين فضلوا اعتباره عددا غير أولي لأن هذا الاتفاق يسهّل صياغة العديد من النظريات. ولولا ذلك لملئت الكتب التي تقدم نتائج حول الأعداد الأولية بعبارات مثل "باستثناء العدد1".
والقضية المركزية لدي الباحثين في موضوع الأعداد الأولية هي تحديد مواقعها في سلسلة الأعداد الطبيعية. ومن المعلوم أن هناك مخمّنة ريمان (Riemann (1826-1866 تدلي بمعلومات دقيقة حول هذا التوزيع، لكن حتى هذه النتيجة الجزئية استعصت على كل من أراد البرهان عليها.
وقد أثبت الرياضيون خلال القرن التاسع عشر بأن عدد الأعداد الأولية الأصغر من n يجاور العدد وهذا عندما يكون n كبيرا بكفاية. ومن ثم تم استنتاج بأن إحدى القيم التقريبية للعدد الأولي من الرتبة n هي n1nn. وقبل ذلك أثبت فيرما (Fermat (1601-1665 عدة نتائج تتعلق بالأعداد الأولية في القرن السابع عشر، منها على سبيل المثال أن كل عدد أولي من الشكل 4n+1 يساوي مجموعا وحيدا لمربعين. مثال ذلك: من أجل 1=n فإن

4n+1=13=9+4=32+22

ويروى أن فيرما كـان على اتصال برجل الدين الفرنسي مرين مرسان (Marin Mersenne (1588-1648 الذي خمّن بأن العدد1+ 2n يكون أوليا كلما كان n مساويا لقوة لـ 2 (مثل 2، 4، 8، 16، ...). وبعد مضي قرن من الزمن أثبت أولر Euler (1707-1783) أن هذه النتيجة خاطئة من أجل 25=32=n إذ أن

232+1=4294967297=641x6700417

أما الآن فنعرفت عشرات الأمثلة المضادة لمخمنة مارسان وفيرما. تدعى الأعداد من الشكل 1+ 2n أعداد فيرما. أما الأعداد ذات الشكل 1- 2n فتسمى أعداد مارسان. ومن المعلوم أن أعداد مرسان ليست أولية عندما يكون الأس غير أولي. وحتى إن كان الأس n أوليا فهذا لا يستلزم بالضرورة أن عدد مارسان أولي. مثال ذلك : أثبت سنة 1536 أن

211-1=2047=23x89

ومن المعلوم أن أعداد مارسان هي التي وفّرت ولا زالت إلى اليوم توفر أكبر عدد من الأعداد الأولية.

كان بيترو كاتالدي Pietro Cataldi) 1548-1626) قد أثبت عام 1588 أن العددين

219-1=524287 و 217-1=131071

أوليان. وأضاف أن الأمر كذلك فيما يتعلق بأعداد مرسـان الخاصة بالأسس 23، 29، 31، 37. لكنه ظهر فيما بعد أن هناك عدة أخطاء في هذا القول : ذلك أن فيرما برهن (حوالي عام 1640) على النتيجة التالية :
إذا كان P أوليا يختلف عن 2 فإن جميع القواسم الأولية لعدد مرسان 2p-1 تكتب على الشكل 1+ 2kp.
ومن ثم تبيّن أن كاتالدي أخطأ في أوليّة عدد مرسان ذي الأس 23، فهو يقسم على العامل 1+ 2kp من أجل k=1 (أي على 47). كما أن عدد مرسان الموافق للأس 37 ليس أوليا لأنه يقسم على العامل 1+ 2kp حيث k=6 . وفي عام 1738 أثبت أولر أن كاتالدي أخطأ أيضا في حالة الأس 29 حيث اتضح أن 233 قاسم لعدد مرسان ذي الأس 29. وأكد أولر صحة قولة كاتالدي فيما يخص الأس 31.
وقبل أوروبا عرف الأعداد الأولية الإغريق كما أسلفنا، وكذلك الصينيون الذين جاؤوا بفرضية تقول أنه
إذا كان P عددا أوليا فإن2p-1 يقبل القسمة على P.
توجد على شبكة الإنترنت العديد من المواقع التي تهتم بالأعداد الأولية وتقدم البعض منها ويصل بعضها الى قائمة تضم أزيد من 6000 عدد أولي. أنظر مثلا

https://www.utm.edu/research/primes

وقد بحث الرياضيون في العديد من أشكال الأعداد الأولية كما فعل وودال Woodall وتم الاهتمام بالأعداد التي تدخل فيها جداء الأعداد الطبيعية المتوالية أو جداء الأعداد الأولية المتوالية وربط بعضهم أعدادا أولية فيما بينها مثلما فعلت صوفي جرمان (Germain (1816-1893. وتسائل البعض عن الفروق بين الأعداد الأولية، وعرف البعض الآخر أنواعا كثيرة من الإعداد الأولية مثل الأعداد التوائم حيث نقول عن عددين أوليين أنهما توأمان إذا كان الفرق بينهما يساوي 2. مثال ذلك الثنائيات (3,5) ، (5,7) ، (11,13)، (17,19). هناك مخمّنة تنص على أن عدد الأعداد التوائم غير منته. وليس هذا فحسب بل أنشغل الرياضيون بأنماط آخر من الأعداد الأولية مثل تلك التي لا تظهر فيها سوى الوحدة، إنها الأعداد الواحدية التكرارية Repunits. لنتعرف عن الأعداد من هذا القبيل وكذا عن الأعداد المتناظرة palindromes والمقتصدة économes والمبذرة prodigues !

هي الأعداد المتكونة في تمثيلها العشري من العدد 1 لا غير. مثال ذلك : 1، 11، 111، 1111، الخ. نلاحظ أن العدد 11 أولي لكن 111 ليس أوليا، وكذلك الحال بالنسبة لـ 1111 و 11111. ويمكن البرهان على أن العدد الواحدي المتناظر المشكل من 1، مكررا 19 مرة، عدد أولي؛ وكذلك الحال بالنسبة للعدد 111...111 ("1" مكرر 23 مرة). فما هي الأعداد الأولية من بين الأعداد الواحدية التكرارية؟
إن الإجابة عن هذا السؤال ليست بسيطة ولا نعرف اليوم أية قواعد قوية تسمح لنا بتحديد مثل هذه الأعداد بصفة تلقائية.
من بين القواعد المكتشفة بهذا الخصوص نذكر :

- حتى يكون عدد واحدي تكراري أوليا لا بد أن يكون عدد أرقامه عددا أوليا. ذلك أنه إذا كان m يقسم n فإن 111...11 ("1" مكرر m مرة) يقسم 111...11 ("1" مكرر n مرة). البرهان على هذه القضية يستند إلى المساواة

111111111111=111×100010001

- لا يمكن أن يكون عدد واحدي تكراري مربـعَ عدد طبيعي.
- أكتشف مؤخرا على أنه لا يمكن أن يكون عدد واحدي تكراري مكعب عدد طبيعي، ولا قوة 5 لعدد طبيعي. ولحد الآن لا نعلم ماذا يحدث بالنسبة للقوى الأخرى غير 2، 3، 5
- بيّنت الحسابات أن العدد الواحدي التكراري 111...111 ("1" مكرر n مرة) أولي من أجل القيم التالية لـ أكتشف العددان الأخيران عامي 1978 (من قبل هيوغ وليمز Hugh Williams) و 1986 (من قبل هيرفي دوبنر Harvey Dubner). وليست هناك قيم أخرى لـ n أصغر من 30000 تعطي أعدادا واحدية تكرارية أولية.
- عندما يتجاوز عدد الأرقام 30000 تصبح الحسابات طويلة جدا، ولذا فنحن نجهل ماذا يحدث. ومن ثم لا ندري ما إذا كانت مجموعة هذه الأعداد منتهية أو غير منتهية.
- الغريب أننا نستطيع في العديد من الحالات التأكيد بأن هذا العدد أو ذاك من فئة الأعداد الواحدية التكراية عدد غير أولي دون التمكن من كتابته على شكل جداء عوامل أولية. نشير الى أن المهتمين تمكنوا اليوم من تحديد العوامل الأولية لهذه الأعداد عندما لا يتجاوز عدد أرقامها 157.

الأعداد الواحدية التكرارية هي نوع خاص من فئة الأعداد "المتناظرة"، أي الأعداد التي تقرأها من اليمين إلى اليسار أو من اليسار إلى اليمين فتحصل على نفس العـدد. مثال ذلك : 212، 3223.
من الواضح أن العدد المتناظر الوحيد المشكل من رقمين هو 11. وباستثناء هذا العدد لا يوجد أي عدد متناظر وأولي يتشكل من عدد زوجي من الأرقام. يمكن إثبات ذلك بفضل مقياس قابلية القسمة على 11، وهي القاعدة التي تنص على أن كل عدد يكون الفرق بين مجموع أرقامه ذات الرتب الزوجية ومجموع أرقامه ذات الرتب الفردية منعدما هو عدد يقبل القسمة على 11. ورغم ذلك يوجد 15 عددا متناظرا وأوليا ذات 3 أرقام وهي :

191 181 151 131 101 727 383 373 353 313 929 919 797 787 757

لاحظ أن رقم مئات كل من هذه الأرقام ليس زوجيا... وإلا كانت زوجية وبالتالي غير أولية. أما عدد الأعداد المتناظرة الأولية ذات 5 أرقام فيبلغ 93 عددا. وهناك 668 عددا متناظرا أوليا ذات 7 أرقام. ومن بين هذه الأعداد نجد

1879781 1878781 1881881 1880881

ومن المعلوم أن الأعداد المتناظرة الأولية المكونة من 11 و 13 و 15 رقما قد تم حسابها من قبل مارتن إيبل Martin Eibl. أما تلك التي لها 17 رقما فقد حددها في منصف 1998 كارلوس ريفيرا Carlos Rivera. ولا بد أن نشير هنا الى أن هذا الأخير من هواة الأعداد الأولية على الرغم من أنه يعمل في صناعة الخزف بالمكسيك. وقد لاحظ هذا الهاوي العديد من خواص الأعداد المتناظرة الأولية، نذكر من بينها :
383=151+131+101
90709=30403+30203+30103

+
1000000000000002109952599012000000000000001 + 1000000000000002110000000112000000000000001 = 1000000000000002110025200112000000000000001 3000000000000006329977799236000000000000003

تعطي المساواة الأخيرة مجموع 3 أعداد متناظرة أولية ذات 43 رقما ... مع العلم أن المجموع ذاته متناظر وأولي.
ولم يكتف الهاوي المكسيكي بهذه العلاقات بل راح يبحث في علاقات مماثلة في هذا النوع من الأعداد فوجد هذه العلاقة بين أعداد تضم 191 رقما (وهو نفسه عدد متناظر أولي) :

+

1(0)87132298010892231(0)871+1(0)87132300858003231( 0)871

=

1(0)87132301111103231(0)871

3(0)87396899979998693(0)873

مع الإشارة إلى أن يرمز الى تكرار"0" بصفة متتالية n مرة.
ومضى ريفيرا في ملاحظاته فكتب العدد المتناظر الأولي 71317 بثلاثة أشكال مختلفة كمجموع أعداد أولية متتالية. كما اكتشف هذا الهاوي خصوصيات أخرى لا يسع هنا المجال لذكرها.

لقد أدخلت مؤخرا مصطلحات جديدة في عالم الأعداد الطبيعية. فلقد اقترح برناردو ريكامان سنتوس Bernardo Recamàn Santos تسمية عددا متساوي الأرقام équidigital إذا كان عدد عوامله الأولية يساوي عدد أرقام كتابته في النظام العشري. مثال ذلك العدد 162 حيث أن 34 . 7= 162 . ومن ثم أطلق مصطلح عدد مقتصد على كل عدد لا يتطلب تفكيكه إلى عوامل أولية أكثر من عدد أرقام كتابته في النظام العشري. والعدد المبذّر هو العدد غير المقتصد. مثال ذلك : العدد 1024 عدد مقتصد لأن 210=1024 . أما العدد 34 فهو مبذّر لأن.

يعرّف العدد التام على أنه ذلك العدد الذي يساوي مجموع قواسمه باستثناء العدد ذاته. ويمكن القول - إذا لم نتقيد بهذا الاستثناء - أن مجموع قواسم العدد التام هو ضعف العدد ذاته.
أثبت أقليدس أنه إذا كان عدد مارسان 1-2nأوليا فإن (1-2n-1(2nعدد تام. ثم برهن أولر عام 1747 على أن جميع الأعداد التامة الزوجية تكتب على هذا الشكل.
وقد أمكن الآن التعرّف على الكثير من الأعداد التامة نذكر منها : 1، 6 ، 28 و 496.
وفيما يخص اسهام العرب والمسلمين في تطوير نظرية الأعداد لا بد أن نشير بإيجاز بأن مسيرة الرياضيات العربية والإسلامية مرت بثلاث مراحل هي:
- المرحلة الأولي : من القرن السابع إلى القرن التاسع، وتميزت باستيعاب الثقافة اليونانية والثقافات الشرقية (أي المصرية والبابلية والهندية والصينية).
- المرحلة الثانية : وهي المرحلة التي ظهر فيها فكر رياضي متأثر، إلى حد كبير، بالثقافة اليونانية كالفلسفة والمنطق والبرهان الرياضي، ولكنه كان يتميز بتطوّر كبير في علوم العدد والجبر.
- المرحلة الثالثة : وهي مرحلة الانطلاق الفعلية للرياضيات العربية الاسلامية، حيث كان للعلماء المسلمين خلال القرن الحادي عشر وما بعده إسهامات بارزة في الحساب والجبر والهندسة وحساب المثلثات والمنطق والحسابات الفلكية.
والملاحظ أن هؤلاء العلماء لم يهملوا البحث في الأعداد التامة. فهذا بهاء الدين العاملي يضع قاعدة ملفتة للانتباه للتعرف على الأعداد التامة:
لتكن السلسلة الهندسية ذات الأساس 2 :
+ 16 + 8 + 4 + 2 + 1
إذا جمعت عدة حدود بدءًا من الواحد، أي إذا حسبت مجموعا جزئيا لهذه السلسلة، وكان هذا المجموع أوليا فستحصل على عدد تام بضرب المجموع المحصل عليه في العدد الأخير الوارد فيه. مثال ذلك :
* 2 + 1 =3 عدد أولي، إذن 2×3 = 6 عدد تام.
* 4 + 2 + 1 = 7 عدد أولي، إذن 4×7 = 28 عدد تام.
* 8 + 4 + 2 + 1 = 15 ليس عددًا أوليا، وبـذلك قد لا يكون العدد 8×15 = 120 تامًّا ، وهو فعلا ليس عددًا تاما، لأن قواسمه هي :

10 8 6 5 4 3 2 1 60 40 30 24 20 15 12

ومجموعها 240.
* 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 عدد أولي، إذن 16×31=496 عدد تام.
* 64+32+16+8+4+2+1 = 127 عدد أولي، إذن 64×127=8128 عدد تام.
* نحسب :

8191 = 1 + 2 +4 + 8 +16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096

وهو عدد أولي. ومن ثم نحصل على العدد التام السادس، وهو:

4096×8191=33550336

الذي يدخلنا في مرحلة الملايين.
إليك بعض المعلومات الأخرى حول الأعداد التامة :
* لا يوجد عددان تامان لهما نفس عدد الأرقام.
* العدد التام السابع (الذي يبلغ عدد أرقامه 10) هو 8589869056 .
* العدد التام الثاني عشر ( 1-2127) 2126 هو ويضم 77 رقما.
* في سنة 1963 تم التعرف على عدد تام آخر يضم 6751 رقما، وله 22425 قاسما، وهو العدد ( 1-211213) 211212.
والواقع أن القاعدة التي وضعها العاملى هي بالضبط ما ذهب إليه أقليدس. إذ أن السلسلة الهندسية التي نظر فيها العاملي تعطي: . وبناء على ذلك، فقاعدة العاملي تنص على أنه إذا كان 2n-1 أوليا فإن العدد تام (1-2n-1(2n. وقد أمكن تطبيقا لهذه القاعدة إيجاد الأعداد التامة، منها تلك التي توافق القيم التالية لـ n :

13 7 5 2 2 257 127 107 61 19

وعلى كل حال فكل الأعداد التامة التي تمّ اكتشافها لحد الآن تحقق قاعدة العاملي (أو أقليدس). والمتمعن في الأعداد التي تم اكتشافها يلاحظ أن كلها أعداد زوجية. ومن هنا يطرح السؤال : هل كل الأعداد التامة أعداد زوجية؟ الجواب عن هذا السؤال لم يتضح بعد. ولم يتوقف الرياضيون عند هذا الحد في دراسة الأعداد التامة بل وسعوها وعرفوا مثلا ما يسمى بالأعدادالمهيبة sublimes والأعداد القاصرة déficients (وهي التي يكون مجموع قواسمها أصغر منها) مثل 27 والأعداد الزائدة abondants (وهي التي يكون مجموع قواسمها أكبر منها) مثل 30.

نقول عن عددين أنهما متحابان إذا كان مجموع القواسم المختلفة لأي منهما يساوى العدد الآخر. مثال ذلك : العددان 220 و 284 متحابان حيث أن مجموع قواسم العدد 220 هو :

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

في حين أن مجموع قواسم العدد 284 هو :

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

ويقال أن فيثاغورس هو أول من عرف هذين العددين. أما العرب والمسلمون فقد كتبوا في ذلك ، ووضعوا فيه القواعد والأسس التجريدية، ومن بينهم إبن البناءالمراكشي( 1380-1429) وثابت بن قرة (826-901) الذي وضع القاعدة التالية للتعرّف على الأعدادالمتحابة، وهي قاعدة مكنت العلماء من الحصول على عدد كبير من أزواج الأعداد المتحابة. تقول القاعدة : ليكن n عددًا طبيعيا. إذا كانت الأعداد

أولية فإن العددان ومتحابان. مثال ذلك : إذا n = 2 يكون لدينا ، وهي أعداد أولية. وبالتالي فإن العددين 220 و 284 متحابان. إنهما أول زوج من أعداد متحابة عرفا في التاريخ. مثال آخر : إذا n = 4 ، فإن ، وهي أعداد أولية، ومن ثم فالعددان 17296 و 18416 متحابان.
إليك بعض الملاحظات بخصوص الأعداد المتحابة :
- لا ندري هل يوجد عدد غير منته من الأعداد المتحابة.
- هناك 42 زوجا من الأعداد المتحابة أصغر من 10 ملايين.
- لكل زوج من الأعداد المتحابة المحصل عليها نفس الزوجية (في معظم الحالات نلاحظ أن عددي الزوج زوجيان). ولا ندري ما إذا كان يوجد زوج مختلط، أي مكوّن من عدد زوجي وعدد فردي.
- يبدو أن نسبة عددين متحابين تؤول إلى 1 عندما تكبر تلك الأعداد.
- العدد الكبير في كل زوج من الأعداد المتحابة عدد قاصر.
- لا يمكن أن يقبل عدد من عددين متحابين زوجيين القسمة على 3.
- يبدو أن كل عدد من عددين متحابين فرديين يقبل القسمة على 3.
- لوحظ أن معظم الأعداد المتحابة الزوجية تقبل القسمة على 9.

عندما يتعلق الأمر بحساب محيط الدائرة أو مساحتها فإنه لا مناص من استعمال عدد يرمز له الرياضيون بالرمز . ولماذا اختاروا هذا الرمز؟ لأنه الحرف الأول من الكلمة اليونانية التي تدل على المحيط. ويبدو أن أول من استعمل هـذا الرمز هـو الرياضي الإنكليزي وليم جونس(Jones (1675-1749 عام 1706، لكن تعميم استعماله لم يحدث إلا ابتداء من عام 1737 عندما تبناه الرياضي السويسري أولر. بينما يذهب آخرون إلى القول بأن أول من استخدم الرمز ( هو الهولندي رومانوس( Romanus (1561-1615.
أين نجد ؟ إذا رغبت في قياس طول قطعة مستقيمة فيمكنك بالتأكيد الاستغناء عن ، أما إن أردت رسم طريق مستقيم على وجه الأرض فهذا يبدو صعبا بسبب استدارة كوكبنا ... ووجود . هل من السهل حساب ؟ يكفي رسم دائرة وقياس محيطها ثم قسمة المحيط على قطر هذه الدائرة. إن العدد الذي تجده هو . لكن ما نجده عمليا هو، في الواقع، قيمة تقريبية لـ إذ أنه من المستحيل أن نحسب بدقة كاملة محيط أية دائرة. ولهذا فنحن نعتبر أن العدد يساوي (بالتقريب) 3.14 ... وإن شئت المزيد من الدقة في الحساب فبإمكانك كتابة أن يساوي :

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 ...

ومن المهم أن نشير الى أن خامس رقم عشري في قيمة هو 9 ، وهو ما يفسر الدقة الكبيرة التي يحصل عليها الفيزيائيون والمهندسون وعلماء الفلك حتى لو أخذوا = 3.14159 أو =3.1416 ذلك أن وجود الرقم 9 في المرتبة الخامسة "يسحق" الأرقام التي تأتي بعده (ابتداء من المرتبة السادسة) ويجعلها مهملة. وعلى كل حال فإن 39 رقما عشريا للعدد يكفي لحساب محيط دائرة قطرها كقطر الأرض بخطإ لا يتجاوز قطر ذرة هيدروجين ! لِـمَ إذن هذا الاهتمام بالعدد ؟
لقد تزايد فضول الرياضيين بحكم تضارب معلوماتهم فكثرت تساؤلاتهم حول العدد : هل هو عدد كسري (أي هل هو حاصل قسمة عددين طبيعيين) أو هل هو عدد جبري (أي هل هو جذر لكثير حدود معاملاته أعداد صحيحة) ... ثم إن هناك مسألة من كبريات المسائل الرياضية التي طرحها الرياضيون في اليونان منذ أزيد من ألفي سنة : هل يمكن إنشاء مربع بالمدور والمسطرة تكون مساحته تساوي مساحة دائرة؟ تلك هي المسألة الشهيرة المعروفة باسم "تربيع الدائرة" التي ظلت مطروحة أكثر من عشرين قرنا دون أن يتمكن أحد من الإجابة عنها ! ... بل لقد أجاب عنها الكثير، معتقدين أنهم حلوا هذا اللغز، لكن مراجعة أعمالهم من طرف الخبراء والهيئات العلمية كانت تكشف في كل مرة على أخطاء تسقط الحلول المقترحة. ونظرا لكثرة عدد الحلول وكثرة أخطائها فإن أكاديمية العلوم الفرنسية، مثلا، رفضت عام 1755 مراجعة أي حل لمسألة تربيع الدائرة ! ... لأن عدد موظفيها لا يكفي لدراسة ومتابعة هذه الحلول.
وحدثت المفاجأة في آخر القرن التاسع عشر عندما أثبت ليندمان (Lindemann (1852-1939 سنة 1882 أن العدد ليس جبريا. وكان معروفا آنذاك أن إثبات هذه الخاصية يكفي للبرهان على أن تربيع الدائرة مسألة مستحيلة. وهكذا جاءت الإجابة عن إمكانية "تربيع الدائرة" بالنفي وأسدل الستار على هذه المسألة التي ضربت رقما قياسيا في مدة طول طرحها. وبطبيعة الحال فإن العمل المتواصل حول هذه المسألة - حتى وإن لم يقدم الإجابة إلا مؤخرا - قد ساعد على تقدم العلوم الرياضية سيما نظرية الأعداد.
وهناك سبب آخر جعل الرياضيون ينشغلون بالعدد : إن هذا العدد يدخل في الكثير من العلاقات الرياضية، وبالتالي فهو متواجد في الفيزياء وعلم الفلك وعلوم الهندسة وعلم النبات وعلم الاجتماع، الخ ... والواقع أن حضور في كل فروع العلم يرجع إلى الدور الذي تلعبه الدائرة في تعريف الدوال المثلثية (الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام). والدوال المثلثية تَحُـلّ في كل مكان يتعلق فيه الأمر بإيجاد علاقات بين الأطوال والزوايا. كما أنها لا تغيب عن الحساب التكاملي. ولعل أبسط مثال يمكن تقديمه حول هذه الظاهرة هو المسألة المعروفة باسم "إبرة بوفون (Buffon (1707-1788 ".
إن هذه التجربة بسيطة جدا ويمكن لكل منا القيام بها. وقد تأكد منها الكثيرون، من بينهم عالم الفلك جوهان رودلف وولف (Wolf (1816-1893 حيث قام برمي الإبرة 5000 مرة فلمست الخطوط 2532 مرة. وبالتالي فحاصل القسمة المشار إليه أعلاه هو . وهي قيمة تقريبية لـ ، لكنها بعيدة عن 3.14 ... وسبب ذلك أن وولف لم يأخذ عرض أشرطته مساويا لنصف طول الإبرة. أما الإنكليزي سميث (Smith (1826-1883 فقد أنجز هذه التجربة سنة 1855 حيث رمى بإبرته 3200 مرة فوجد القيمة التقريبية 3.1553 ، وكذلك فعل الإنكليزي فوكس Fox سنة 1864 الذي اكتفى بـ 1100 رمية ورغم ذلك حصل على نتيجة حسنة فوجد 3.1419. كما أن الإيطالي لازيريني Lazzerini قام سنة 1901 برمي الإبرة 2000 مرة فوجد 3.1446 .
ويمكننا تقديم مثال آخر حول حضور العدد في أماكن غير منتظرة : ما هو الاحتمال ألا يكون للعدد المسحوب من بين الأعداد الطبيعية "قاسم أولي متكرر" (أي عدد أولي مربعه يقسم العدد المسحوب) ؟ الإجابة : هذا الاحتمال هو حاصل قسمة العدد 6 على مربع .

دعنا نتفحص تقريبات العدد اللغز حسب تسلسلها الزمني :
- = 3 هي القيمة المتداولة عند الشعوب القديمة التي لها معلومات رياضية ضعيفة (الصين، فلسطين، آسيا الصغرى)، ويذكر أن هذه القيمة واردة في الإنجيل.
- استنتج أرخميدس (287-212 قبل الميلاد) أن :
كانت معروفة في عهد أرخميدس.
- وجد بطليموس (150 بعد الميلاد) العلاقة : .
- سنة 480 : الصيني تسو شونغ شيه (Tsu Chung Chih (430-501 بيّن أن

- سنة 530 : الهندي آريابهاتا الأول (Aryabhata (476-550 يصل الى النتيجة

- سنة 1150 : قدم الهندي بهاسكارا عددا من القيم التقريبية للعدد ، نذكر من بينهما:

وهذا لا يعني أن بهاسكارا هو الذي اكتشف هذه القيم التقريبية.
- سنة 1429 : الكاشي، فلكي سمرقند، يحسب العدد اللغز بستة عشر رقما عشريا.
- سنة 1579 : الفرنسي فيات (Viete (1540-1603 يحسب بتسع أرقام عشرية صحيحة. كما وجد علاقة تعطي حاصل قسمة 2 على العدد .
- سنة 1585 : أدريان متيوس Metius أعاد اكتشاف القيمة التقريبية التي توصل إليها الصينيون.
- سنة 1593 : الهولندي أدريان رومانوس وجد 15 رقما عشريا صحيحا للعدد اللغز.
- سنة 1610 : الهولندي لودولف فان سونلان (Van Ceunlen (1540-1610 يعثر على 35 رقما عشريا.
- سنة 1630 : غرينبارجي Grienberger يحسن النتيجة السابقة بأربعة أرقام عشرية إضافية.
- سنة 1650 : الأنكليزي جون واليس (Wallis (1616-1703 وجد أن : . ثم حولها اللورد برونكار (Brouncker (1620-1684 الى ما يعرف في الرياضيات بالكسر المستمر.
- سنة 1671 : البريطاني جيمس غريغوري (Gregory (1638-1675 كتب العدد اللغز كمجموع سلسلة على النحو .
- سنة 1699 : أبراهام شارب Sharp يحصل على 71 رقما عشريا صحيحا باستعمال متسلسلة غريغوري.
- سنة 1706 : جون ماشين Machin يتمكن من الحصول على 100 رقم عشري للعدد اللغز باستعمال متسلسلة غريغوري. وفي نفس السنة استعمل الرمز( لأول مرة (فيما يبدو) من قبل الإنكليزي وليم جونس.
- سنة 1719 : الفرنسي دي لانيه (De Lagny (1660-1734 يحصل على 112 رقما عشريا باستخدام متسلسلة غريغوري.
- سنة 1737 : كثر استعمال الرمز عند الرياضيين الإنكليز وتبنّاه، فيما يبدو، الرياضي الشهير أولر.
- سنة 1754 : ألف الفرنسي جون مونتوكلا(Montucla (1725-1799 كتابا حول تاريخ "مسألة تربيع الدائرة".
- سنة 1767 : برهن هنريش لامبار(Lambert (1728-1777 على أن العدد عدد غير ناطق (أي لا يكتب كحاصل قسمة عددين طبيعيين).
- سنة 1794 : الفرنسي لوجندر(Legendre (1752-1833 يثبت أن مربع عدد غير ناطق.
- سنة 1841 : الإنكليزي وليم روذرفورد Rutherford يحصل على 208 أرقام عشرية للعدد اللغز. وقد تبيّن فيما بعد أن 152 رقما من بين هذه الأرقام كانت فعلا صحيحة.
- سنة 1844 : الألماني داز (Dase (1824-1861 المعروف بعبقريته في مجال الحساب الذهني وجد ( بمأتي رقم عشري صحيح باستخدام متسلسلة غريغوري.
- سنة 1853 : روذرفورد يحصل على 400 رقم عشري صحيح.
- سنة 1873 : الإنكليزي وليم شنكس (Shanks (1812-1882 يحسب بـ 707 أرقام عشرية. وقد ظلت هذه النتيجة قياسية خلال مدة طوية.
- سنة 1882 : أثبت ليندمان، كما أسلفنا، أن العدد اللغز ليس جبريا (أي أنه عدد متسام transcendantal).
- سنة 1946 : فارغوسون Ferguson يكتشف خطأ في القيمة التقريبية التي وجدها شنكس إبتداء من المرتبة 528 . وفي السنة الموالية يقدم 710 رقما عشريا صحيحا. كما قدم الأمريكي ورانتش Wrench808 أرقام عشرية للعدد اللغز. لكن فارغوسون عثر على خطإ لدى ورانتش إبتداء من المرتبة 723. وفي سنة 1948 نشرا معا 808 أرقام عشرية صحيحة.
- سنة 1949: دخل الحاسوب ساحة حساب الأرقام العشرية للعدد حيث استعمله نومان Neumann- لحساب 2037 رقما عشريا لهذا العدد.
- سنة 1957 : فلتون Felton يحاول حساب 10000 رقم عشري. لكنه لم يحصل سوى على 7480 رقما صحيحا.
- سنة 1958 : جونويا Genuya يحصل على 10000 رقم صحيح.
- سنة 1959 : الحصول على 16167 رقما عشريا صحيحا.
- سنة 1961 : الحصول على 100265 رقما عشريا للعدد من قبل ورانتش وشنكس.
- سنة 1965 : الفرنسي غِـيّو Guilloud وآخرين يحصلون على 250000 رقم عشري. وبعد سنتين يحسن غيّو النتيجة فيضاعفها.
- سنة 1974 : غيّو يصل الى ثلاثة ملايين رقم عشري.
- سنة 1986 : هايلي Hailey يصل الى 000 360 29 رقم عشري صحيح.
- سنة 1987 : كانادا Kanada ومعاونوه يصلون الى 000 217 134 رقم عشري للعدد
وتواصل تحديد المزيد من الأرقام العشرية لـ على هذه الوتيرة حتى فاق عام 2000 خمسين مليار رقم. والواضح أن ظهور الحاسوب قد كثف البحث عن الخوارزميات التي تسمح بإيجاد أكبر عدد ممكن من الأرقام العشرية، واشتدّ بذلك تنافس الباحثين في هذا المجال. لماذا الانشغال بأمر تافه كهذا ؟ إنه اختبار لقدرة أجهزة الحاسوب إضافة الى الفضول العلمي. ثم هل أن توزيع الأرقام العشرية للعدد يخضع لقانون معين أو أنه توزيع عشوائي؟ ... لعل التوغل في الحسابات يؤدي الى استنباط بعض القوانين التي تتحكم في هذا اللغز. ومن يدري فقد يكون هذا التوزيع غير عشوائي ابتداء من رتبة معينة.

ولد رامانوخان سنة 1887 في عائلة فقيرة بجنوب الهند، وبالتحديد في قرية إرود التي تقع على بعد 400 كلم عن مدينة مدراس الشهيرة بنشاطها العلمي والتجاري. وأخذته أمه مباشرة بعد ولادته إلى مدينة كومباكونام التي تبعد 160 كلم عن مدراس. وقد بدأت تظهر مواهبه عندما بلغ سن السابعة. وفي عام 1902 تحصل رامانوخان على كتاب George Shoobridge Carr : Synopsis of Elementary Results in Pure and AppliedMathematics, 2 vol
وهو يضم حوالي 6000 نظرية وصيغة رياضية ويحتوي على بعض البراهين القصيرة. وفي الكتاب أيضا دليل لما نشر من رياضيات بحتة في المجلات الأوروبية خلال النصف الأول من القرن التاسع عشر. وبما أن الكتاب صدر عام 1856 فهو لا يعدّ من المراجع الحديثة لرياضيات مطلع القرن العشرين. ورغم ذلك ساعده الكتاب على إيجاد طريقة حل معادلة من الدرجة الثالثة، وحاول حل المعادلات من الدرجة الخامسة إذ لم يكن يعلم أن ذلك مستحيل بواسطة الجذور. وحصل في السنة الموالية على منحة دراسية لكنه فقدها في السنة الموالية لأنه كان منشغلا بالرياضيات دون غيرها من المواد. ومكنه شغفه بالرياضيات آنذاك من حساب ثابت أولر Euler(1707-1783) بدقة 15 رقم عشريا. ثابت أولر هو نهاية المتتالية ، وقيمته التقريبية هي
532 901 664 215 577. 0 تلك هي النتيجة التي توصل إليها راموناخان.
ثم شرع في دراسة أعداد (جاكوب) برنولي (Bernoulli (1654-1705 وهي القيم (0)Bnحيث ترمزBn إلى متتالية كثيرات حدود برنولي المعرفة بـ مع العلم أن .وعندما انقطعت منحته صار بدون مورد مالي فسافر دون أن يخبر ذويه الى مدينة فيزاغاباتمان الواقعة على بعد 650 كلم من مدراس. وواصل هناك عمله الرياضي مهتما بالسلاسل series الهندسية الزائدية، وبحث في علاقات السلاسل بالتكاملات. ولم يكن يدري أنه كان يبحث آنذاك فيما يسميه الرياضيون بالدوال الناقصية elliptic. وفي سنة 1906 التحق بأحد المعاهد في مدينة مدراس، وكان يريد إجراء مسابقة تمكّنه من التسجيل في جامعة مدراس، لكنه مرض منذ الشهور الأولى وأسفرت نتيجة امتحانه على علامة جيدة في الرياضيات والرسوب في باقي المواد. وهكذا حرم من الدخول الى الجامعة.
ورغم ذلك واصل أبحاثه الرياضية بطريقة عصامية وطرح مسائل رياضية وحلها وناشرا بذلك 58 مسألة على صفحات مجلة الجمعية الرياضية الهندية (Journal of Indian Mathematical Society) ابتداء من 1911 حتى عام 1919.
وكان رامانوخان قد طلب منحة دراسية لكنه لم يفز بها رغم دعم الرياضي راماشاندرا راوو أحد مؤسسي الجمعية الرياضية الهندية الذي اتصل به رامانوخان ناشدا مساعدته.
راسل رامانوخان عددا من الرياضيين البريطانيين أمثال بيكر (Baker (1866-1956 وهوبسن Hobson (1856-1933) وهاردي (Hardy (1877-1947 لكن لم يجبه أحد منهم سوى هاردي. وكان أحد الأساتذة قد راسل الرياضي هيل M. J. M. Hill حول رامانوخان وأعماله وبعث إليه بمقاله حول أعداد برنولي الصادر عام 1911 فردّ هيل مشجعا رامانوخان وموضحا أنه فشل في فهم نتائجه حول السلاسل المتباعدة. وكما أسلفنا فإن رامانوخان راسل هاردي بعد أن اطلع على كتابه حيث جاء في رسالته المؤرخة في 16 يناير 1913 : "سيدي، اسمحوا لي بأن أقدّم نفسي. إني موظف بمصلحة محاسبة مكتب ميناء مدراس وراتبي لا يتعدى 20 جنيها في السنة، وعمري حوالي 23 عاما. ولم أزاول دراسات عليا حيث لم أتجاوز المدرسة العادية. وبعد الخروج من المدرسة فإني قضيت كل أوقات فراغي في دراسة الرياضيات. كما أني لم أتابع دروسا نظامية في الجامعة. لكني اكتشفت سبلا جديدة بنفسي. ودرست بصفة خاصة السلاسل المتباعدة عموما وتحصلت على نتائج أعتبرها الرياضيون المحليون نتائج مثيرة ... وقد وصلت الى حد أصبح فيه الرياضيون المحليون غير قادرين على فهمي في تحاليقي المرتفعة. ... أود أن تنظروا الى أوراقي المرفقة. إني فقير، وعليه إن رأيتم أن في أوراقي شيئا لائقا فإني أرغب في نشر نظرياتي ... ليست لي تجربة ولذا فإني سأستقبل كل رأي تقدموه لي بامتنان كبير. أرجو أن تعذروني عن الإزعاج ".
وعندما وصلت رسالة رامانوخان الى هاردي لم يعرها أهمية خاصة نظرا لكثرة ما تصله من مراسلات علمية مختلفة المستويات. ولما رجع هاردي صحبة زميله جون لتلوود (Littlewood (1885-1977 لرسالة رامانوخان وتمعنا في المائة والعشرين صيغة ونظرية رياضية التي أرفقها رامانوخان برسالته (بدون براهين) أدركا أن صاحبها ليس ساذجا أو مدّعيا بل إن الأمر يتعلق هذه المرة برجل لغز ! وقام هاردي بدراسة العلاقات الرياضية التي توصل إليها رامانوخان لكنه لم يفلح في إيجاد جميع البراهين. ورغم ذلك كان يعتقد أن جلّ العلاقات صحيحة إذ أنه "لا يمكن أن يكون لشخص في الدنيا تصور كاف لاكتشافها لو لم تكن صحيحة"
وردا على هذه الرسالة كتب هاردي يوم 8/02/1913 لرامانوخان قائلا "أنا مهتم غاية الاهتمام برسالتكم وبالنظريات التي وضعتموها. لكنكم تدركون بأنه من المهمّ، قبل إبداء حكم صائب حول قيمة إنجازكم، أن أطلع على براهين بعض نتائجكم. يبدو لي أن هذه النتائج تنقسم الى ثلاث:

- النتائج المعروفة أو التي يمكن استخلاصها من نظريات معروفة،
- نتائج أخرى جديدة ملفتة للانتباه حسب علمي، لا لأهميتها بل لصعوبتها وغرابتها،
- نتائج تبدو جديدة ومهمّة. ".

سرّ رامانوخان أيما سرور بهذا الرد وسارع الى مكاتبة هاردي قائلا : " لقد وجدت فيكم صديقا اطلع بعطف على أعمالي ... إني رجل أشكو الجوع، وللحفاظ على مؤهلاتي الفكرية فإني بحاجة الى طعام، ذلك هو هاجسي الأول. ولذلك فكل رسالة تعاطف من طرفكم ستساعدني هنا على الحصـول على منحة دراسية من الجـامعة أو من الحكومة." وهكذا حصل رامانوخان من جامعة مدراس على منحة لمدة سنتين في ماي 1913 فالتحق بهاردي في مارس 1914. وتوظف بنفس المعهد التابع لكمبردج الذي يعمل فيه هاردي وبدأ التعاون بين الرجلين الهندي والإنكليزي. ويروي هاردي أنه وجد صعوبة في التعامل مع رامانوخان في مجال الرياضيات لأن معلوماته في الأساليب والمنهجية الرياضية كانت ضعيفة جدا. ولذلك طلب هاردي من صديقه لتلوود أن يعينه بتلقين رامانوخان الأسس المتينة للرياضيات. ويذكر لتلوود بهذا الشأن أن ذلك كان صعبا للغاية لأنه كلما أقدم على تدريس شيء ينبغي أن يعرفه رامانوخان أطلق عليه هذا الأخير سيلا من الأفكار الأصيلة ينسيهما الموضوع الذي التقيا من أجله !
كان شتاء 1915 قارصا في إنكلترا والحرب العالمية الأولى مندلعة فتدهورت الحالة الصحية لرامانوخان سيما أنه كان بوذيا متمسكا بمبدإ عدم أكل اللحوم في الوقت الذي كانت فيه الحكومة البريطانية توزع فيه المواد الغذائية بالتقسيط على المواطنين بسبب ظروف الحرب. وهكذا كان رامانوخان يتنقل من مستشفى الى مستشفى في بريطانيا، ورغم ذلك لم يتوقف إنتاجه الرياضي.
وفي 16 مارس 1916 تحصل رامانوخان على شهادة البكلوريوس في العلوم عن طريق البحوث المنشورة. والجدير بالذكر أن هذه الشهادة هي التي أصبحت تسمى ابتداء من عام 1920 الدكتوراه Ph.D. وضمت أطروحة رامانوخان سبعة أبحاث صدرت في إنكلترا. ومن المعلوم أن الجامعة سمحت له بالتسجيل في جوان 1914 على الرغم من أنه لم تكن لديه مؤهلات جامعية. وعاوده المرض عام 1917 وكان طبيبه يخشى على رحيله من شدّة المرض. ولم يلبث رامانوخان أن انتخب عضوا في الجمعية الملكية اللندنية في فبراير 1918، وكان ذلك باقتراح من كبار رياضيي ذلك العصر أمثال هاردي ولتلوود ووايتهيد Whitehead(1904-1960) ويونغ (Young (1868-1944 وكان رامانوخان أول هندي تمكن من بلوغ هذه الرتبة العلمية.
رجع رامانوخان الى الهند بمكانة علمية لا تضاهى ... كان ذلك يوم 27/02/1919 فوصلها يوم 13/03/1918 وتوفي هناك يوم 26 أبريل 1920 لإصابته بمرض السل.
لقد ترك رامانوخان عددا من البحوث غير المنشورة المليئة بالنظريات واصل دراستهما واتسن (Watson (1886-1965 خلال الفترة 1918-1951 حيث نشر منها 14 بحثا. ثم نشر حوالي ثلاثين بحثا آخر مستوحى من أعمال رامانوخان المنجزة بالهند قبل 1914 وخلال السنة التي قضاها هناك بعد عودته من بريطانيا.
ومن المسائل التي بحث فيها رامانوخان الحساب المؤدي الى تحديد قيم بعض الثوابت مثل ثابت لوندو (Landau (1877-1938 وغيره. ويرى الرياضيون أن رامانوخان أكثر غرابة من غيره الذين برزوا بمواهبهم الرياضية. فهو لم يعرف نظرية الدوال التحليلية التي تعتبر الطريق المؤدي الى ما كان يبحث فيه هذا الرجل. كما أن رامانوخان لم يكن يعرف كيف يقدم برهانا رياضيا.
ومن المعلوم أن رامانوخان كان يسجل نتائجه في دفاتر. ويسود الاعتقاد أن الرياضيين لم يستغلوا بعد ما تركه رامانوخان في دفاتره المليئة بالعلاقات الرياضية حول التكاملات والسلاسل والكسور المستمرة. وإن كان الرياضيون لم يستخدموا كل هذه العلاقات فذلك يعود الى كون رامانوخان لا يقدم البراهين عما يكتشفه. ثم إنه لا يستعمل في دفاتره اللغة والمصطلحات والرموز الرياضية المعروفة بل كان يكتب برموز شخصية. ويشير العارفون الى أن سطرا واحدا من هذه الدفاتر يتطلب أحيانا صفحات وصفحات من التعاليق والشروحات.

وما علاقة رامانوخان بالعدد ؟ تبرز عبقرية هذا الرجل في أعماله المتعلقة بهذا العدد وتقريباته. فقد أنشأ رامانوخان بخصوص ما يسمى بالمعادلات المقياسية modular equations (وهي معادلات جبرية تربط بين قيم دالة عندما يأخذ المجهول قيما تساوي قوى عدد ما). وأثبت رامانوخان براعته الفائقة في حل مثل هذه المعادلات التي تسمح بعض حلولها بالحصول على كمية ضخمة من الأرقام العشرية للعدد (. وأضاف رامانوخان الى هذه الأعمال متسلسلات سريعة التقارب وعلاقات خاصة تساعد على هذه التقريبات.
كنا ذكرنا أن أعمال غيو في مطلع السبعينيات سمحت بحساب ثلاثة ملايين رقم عشري. لقد استغرقت تلك الحسابات يوما كاملا باستخدام الحاسوب. لكنه سرعان ما تبين أن هناك حدودا لا يمكن تجاوزها : إن استعمال الطرق التقليدية يستوجب من أجل مضاعفة عدد الأرقام العشرية ضرب زمن الحساب في أربعة. ولهذا حتى لو ضربت سرعة الحساب في مائة فالبرنامج الذي صممه غيو يتطلب ربع قرن من الحساب لبلوغ مليار رقم عشري للعدد . وكان لا بد من أفكار جديدة وعلاقات رياضية تمكّن في آن واحد من مضاعفة سرعة الحساب وإيجاد طرق أكثر نجاعة في البحث عن الأرقام العشرية للعدد .
وقد وجد الباحثون جزءا كبيرا من ضالتهم في أبحاث رامانوخان الذي كان يجهل كل شيء عن علم الحاسوب. ورامانوخان لم يبحث في مجال الطرق التكرارية التي يستغلها خبراء الحاسوب والبرمجة ... ورغم ذلك فإن المستلزمات الأساسية لهذه الطرق موجودة في أعماله. والمدهش أن الخبراء اكتشفوا في دفاتر رامانوخان علاقات تبين كيفية إنشاء خوارزميات دقيقة وسريعة لحساب الأرقام العشرية للعدد (. والواقع أن التقنيات الجبرية المتطورة في مجال البرمجة أصبحت تستغل طرقا فتحها رامانوخان منذ ثمانين سنة. وهكذا فإن الحاسوب لم يسمح باستغلال أعمال رامانوخان فحسب بل سمح أيضا بإدراك مغزاها. أولم يصدق من لقب رامانوخان بـ "موزار الرياضيات"؟
كان لهاردي سلم خاص لتقييم الرياضيين من خلال أعمالهم وعبقريتهم. لقد منح هاردي لنفسه العلامة 25 ولصديقه ليتلوود العلامة 30 وللعبقري الألماني هيلبرت 80. وأما رامانوخان، الملقب موزار الرياضيات، فقد حصل حسب سلم هاردي على العلامة 100. فمن يا ترى يعارض تقييم هاردي؟ !
تلك هي عينة من النتائج والمعلومات الخاصة ببعض أنماط الأعداد. ولا شك أن المتتبع لهذه الدراسات يدرك أن مشوارها لا زال طويلا.

أولا:بعضالمواقعحولالأعداد

https://www.lifl.fr/~wegrzyno/BizPrem.html

https://www.sci.net.mx/~crivera/puzzlers.htm

https://www.ping.be/~ping6758/circular.htm

https://ping4.ping.be/~ping6758/palpri.htm

https://user.aol.com/s6sj7gt/primeval.htm

https://www.chalcedon.demon.co.uk/62

ثانيا:مراجعحولرامانوخانو

S. Aiyar, The late Mr S Ramanujan, B.A., F.R.S., J. Indian Math. Soc. 12 (1920), 81-86. 1. G. Andrews, An introduction to Ramanujan's 'lost' notebook, Amer. Math. Monthly 86 (1979), 89-108 2. B. Berndt and R A Rankin, Ramanujan : Letters and commentary , Providence, Rhode Island, 1995 3. J. Borwein and P B Borwein, Ramanujan and pi, Scientific American 258 (2) (1988), 66-73. 4. G. Hardy, The Indian mathematician Ramanujan, Amer. Math. Monthly 44 (3) (1937), 137-155. 5. G. Hardy, Ramanujan, Cambridge, 1940. 6. R Kanigel, The man who knew infinity : A life of the genius Ramanujan, New York, 1991. 7. J. Kapur (ed.), Some eminent Indian mathematicians of the twentieth century, Kapur, 1989. 8. S Ramanujan, Collected Papers, Cambridge, 1927. 9. S. Ranganathan, Ramanujan : the man and the mathematician, London, 1967. 10. S. Ramanujan : An inspiration 2 Vols. Madras, 1968. 11. R. Rao, In memoriam S Ramanujan, B.A., F.R.S., J. Indian Math. Soc. 12 (1920), 87-90. 12. D. Young, Ramanujan's illness, Notes and Records of the Royal Society of London 48 (1994), 107-119 13.

ثالثا:بعضالمراجعبالعربيةحولالرياضياتالعربيةالإسلامية(سيمافيالأعداد)

1. رينيه تاتون ، تاريخ العلوم العام، ترجمة علي مقلد، المؤسسة الجامعية للدراسات والنشر والتوزيع، بيروت 1988 2. موريس شربل، الرياضيات في الحضارة الاسلامية، جروس برس، طرابلس (لبنان) 1988. 3. قدري حافظ طوقان ، تراث العرب العلمي في الرياضيات والفلك، دار الشروق، بيروت والقاهرة. 4. عبد المجيد نصير ، الرياضيات في الحضارة الاسلامية ، وقائع ندوة التراث العلمي العربي في العلوم الأساسية ، طرابلس 1991. 5. محمد بن موسي الخوارزمي ، الجبر والمقابلة تحقيق علي مصطفي مشرفة ومحمد مرسي أحمد، طبعة القاهرة، 1937 6. جلال شوقي (تحقيق) ، الأعمال الرياضية لبهاء الدين العاملي، دار الشروق، القاهرة وبيروت 1981. 7. نيقوماخس الجارسيني ، كتاب المدخل إلى علم العدد، ترجمة ثابت بن قرة وصححه ونشره الأب ولهلم كوتش اليسوعبة، المطبعة الكاثوليكية، بيروت 1959 8. إبن البنّاء المراكشي ، تلخيص أعمال الحساب، تحقيق محمد سويسي، المطبعة الرسمية، تونس 1969. 9. إبن البنّاء المراكشي، رسالة في الأعداد التامة والزائدة والناقصة المتحابة، تحقيق محمد السويسي، مجلة الجامعة التونسية، العدد 13، 1976. 10. جلال شوقي، علي الدفاع ، العلوم الرياضية في الحضارة الاسلامية، الجزء الأول/ جون وايلي وأبناؤه/ نيويورك 1985، 11. جمشيد غياث الدين الكاشي، مفتاح الحساب، تحقيق وشرح أحمد الدمرداش ومحمد حفني الشيخ، دار الكتاب العربي للطباعة والنشر، القاهرة. 12. أحمد بن ابراهيم الاقليدسي ، فصول في الحساب الهندي، تحقيق أحمد سعيدان ، منشورات اللجنة الاردنية للتعريب والنشر والترجمة، عمان، 1973. 13. كوشيار بن لبان الجيلي، في أصول حساب الهند، تحقيق مارتن ليفي، مكتبة المثني / بغداد.

14.

صوئيل بن يحي بن عباس ، الباهر في الحساب ، تحقيق رشدي راشد وصلاح الأحمد ، دمشق، 1972

15

هاشم الطيار، يحي سعيد ، موجز تاريخ الرياضيات، جامعة الموصل، 1977.

احبكم في الله

جاز الله كل خير صاحب العمل الاصلي

منقول لما فيه ئيفاده لابناء هته الامه

اسال لله الإيفاده لي و لك

مع تحيات

ابو رسلان

اسال الله لكم بالنجاح و التوفيق

[نبراس الإسلام]

بارك الله فيك

[fatimazahra2011]

[حواء1996]

شكرا
يعطيك العافية