تمرين يحتاج الى حل

[عبيدة بن الجراح]

تمرين :
ليكن p عدد أولي حيث : P>3.
بين أنَّ p²-1 مضاعف للعدد 12

[bouss2013]

SALAM ALIKOUM

Ci-dessous la démonstration


si p est un nombre premier supérieur à 3 alors p² - 1 est toujours un multiple de 24


Propriété à démontrer : Si p est un nombre premier strictement supérieur à 3, alors p² - 1 est toujours un multiple de 24 (autrement dit, 24 divise p² - 1)

Pour cela : 24 = 2 x 2 x 2 x 3 (décomposition en facteurs premiers) donc si je montre que p² - 1 est divisible par 2, trois fois, puis par 3, ça sera bon.


( Soit p premier, p > 3. p étant un nombre premier, il est toujours impair (sinon il serait divisible par 2 et donc pas premier).

On peut donc l'écrire p = 2m + 1, avec m > 1 entier quelconque

(Dans ce cas, en remplaçant : p² - 1 = (2m + 1)² - 1 = 4m² + 4m + 1 - 1 = 4m² + 4m = 4m(m+1

On constate que p² - 1 est toujours multiple de 4, donc déjà il est divisible par 4.

Puis, une fois qu'on l'a divisé par 4, il reste m(m+1) qui est le produit de 2 entiers consécutifs : l'un des deux est nécessairement pair (soit m est pair, soit m+1 l'est). En tout cas, l'un est divisible par 2. Pour le moment p² - 1 est donc divisible par 4 et par 2, donc par 8



Reste à montrer que p² - 1 est divisible par 3. Pour cela, je peux raisonner à nouveau sur p² - 1 puisque 3 est premier avec 8

p étant premier et supérieur à 3, il n'est pas multiple de 3 donc il s'écrit p = 3k + 1 ou bien p = 3k -1 avec k >1 entier

Commençons avec p = 3k + 1

(p² - 1 = (3k + 1)² - 1 = 9k² + 6k + 1 - 1 = 9k² + 6k = 3(3k² + 2k).

On constate que p² - 1 est divisible par 3

Si on part de p = 3k - 1, la seule chose qui change est p² - 1 = 9k² - 6k qui est donc toujours divisible par 3.

Donc dans tous les cas, p² - 1 est divisible par 3



Conclusion : p² - 1 est divisible par 8 et par 3, donc par 24 puisque 8 et 3 sont premiers entre eux


Résultat final

Si p est un nombre premier strictement supérieur à 3, alors p² - 1 est toujours un multiple de 24 et donc systématiquement un multipe de 12

source:https://epsilonpi.e-monsite.com/blog/...ple-de-24.html

[Maher-dz]

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[Maher-dz]

[عبيدة بن الجراح]

Monsieur bouss2013 , je vous remercie pour votre réponse complète à ma question.

et vous prie de continuer à faire votre travail.

[Maher-dz]

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