تقنيات حل تمارين الهندسة التحليلية في الفضاء
m.hacen-39
نقط من الفضاء : C و B ، A (1)
ABNAC ليست في استقامية نثبت C و B ، A لبيان أن النقط ×
cos(AB, AC)¹ ± وطلب استنتاج عدم الإستقامية نجد أن 1 cos(AB, AC) إذا تم حساب ·
نثبت أن : ax + by + cz + d = تعرف جيدا مستو ذو معادلة 0 C و B ، A لبيان أن النقط
ليست في استقامية. C و B ، A النقط ?
تحقق المعادلة. C و B ، A النقط ?
. AC × n = و 0 AB× n = نثبت أن : 0 (ABC) ناظمي للمستوي n لبيان أن الشعاع ×
شعاعي توجيھ AC و AB بمعنى أن (A; AB, AC) نعرفھ ب (ABC) لإيجاد التمثيل الوسيطي للمستوي ×
نقطة يشملھا . A لھ و
نقطة يشملھا . A شعاع توجيھ لھ و AB بمعنى أن (A; AB ) نعرفھ ب (AB) لإيجاد التمثيل الوسيطي للمستقيم ×
.GA+ GB+ GC = نثبت أن : 0 ABC مركز ثقل المثلث G لبيان أن النقطة ×
من نفس المستوي نثبت أن ثلاثة منھا ليست على استقامية ولتكن مثلا D و C ، B ، A لبيان أن النقط ×
. AD = a AB+ b AC : تحقق IR من b و a ثم نبين وجود C و B ، A
ناظميان لھما على الترتيب: n¢ و n مستويان من الفضاء ، الشعاعان (P¢) و (P) ( 2 )
. n¢ II n متوازيان نثبت أن (P¢) و (P) لبيان أن ×
. n¢ ^ n بمعنى أن n × n¢ = متعامدان نثبت أن 0 (P¢) و (P) لبيان أن ×
. nNn¢ متقاطعان وفق مستقيم نثبت أن الشعاعان (P¢) و (P) لبيان أن ×
نثبت أن : (P¢) و (P) شعاع توجيھ لھ ھو تقاطع u و H الذي يشمل النقطة (D) لبيان أن المستقيم ×
. H Î(P¢) و H Î(P) ?
. u × n¢ = و 0 u × n = 0 ?
.(D)Ì (P¢) و (D)Ì (P) ثم نبين أن nNn¢ نثبت أولا أن (D) وباستخدام التمثيل الوسيطي ل ·
شعاع توجيھ لھ : u مستقيم (D) ناظمي لھ و n مستو من الفضاء (P) (3 )
u ^ n بمعنى أن .u × n = متوازيان نثبت أن 0 (D) و (P) لبيان أن ×
.u × n ¹ متقاطعان في نقطة نثبت أن 0 (D) و (P) لبيان أن ×
. n II u متعامدان نثبت أن (D) و (P) لبيان أن ×
شعاعا توجيھ لھما على الترتيب : u¢ و u ، مستقيمان (D¢) و(D) ( 4 )
.u II u¢ متوازيان نثبت أن (D¢) و (D) لبيان أن ×
.u ^ u¢ بمعنى أن u × u¢ = متعامدان نثبت أن 0 (D¢) و (D) لبيان أن ×
من نفس المستوي نثبت أنھما متوازيان أو أنھما يتقاطعان في نقطة . (D¢) و (D) لبيان أن ×
ناظمي لھ : n حيث أن الشعاع (P) المسقط العمودي لنقطة على مستوي (5 )
. AH II n و H Î(P) : نثبت أن (P) على A ھي المسقط العمودي للنقطة H لبيان أن النقطة ×
. AH = d(A, P) ·
(P) نبحث عن نقطة تقاطع المستوي (P) على A المسقط العمودي للنقطة H لإيجاد إحداثيات النقطة ×
. H شعاع توجيھ لھ، فھي النقطة n و A و المستقيم الذي يشمل
أو نقطة تماس (P) مع المستوي (S) تقاطع سطح كرة (C) نستعمل ھذه الطريقة لإيجاد إحداثيات مركز الدائرة ·
.(P) على المستوي (S) لأن ھذه النقطة ھي المسقط العمودي لمركز سطح الكرة (S) مع (P)
الوضعيات النسبية
m.hacen- تقاطع مستويين : 39
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
- --®(D)
- - - -®
® = ¢
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
º Ç ¢ ® =
® ® = ® - -® = D
¹ - - - -® =
¢
®
= ® = = ¢
¢
®
= ® ® - -®
¢
=
¢
=
¢
Ç ¢ ® f
f
P P
P P S
No z t x t y t S
k S
d
d
k S P P
d
d
k Oui
c
c
b
b
a
P P a
,
m.hacen- تقاطع مستو و مستقيم : 39
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ( ) ( ) ( )) { }
( ) ( )
( )
{ } 0 0 0 0 0 0 0 0 ; ;
0 0
0
0 0
M
P S
t M x t y t z t S M
و S
P S
P ax by cz d t
®
--®
-®D
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
º Ç D ® =
® ¹ ® =- ® ® =
® = ¹ -------------------® =
® = = ®D Ì -------------® = D
Ç D ® + + + = ® + = ®
D D D
D D D f
a
b
a
a b f
a b
a b
m.hacen- تقاطع ثلاث مستويات: 39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
{ } { } 0 0 M S M
S
S
p S
S
S
S
P P S p p p
P P P P S
P P P P P S
® - -® =
® - - - - - -® =
® D - - - -® = D
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
® D - - - - - - - - - - - - - - - -® ¢¢ Ç D ® =
® - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -® =
® D¢ - - - - - - - - - - - -® = D¢
® - - - - - - - - - - - - - --® =
® = ¢¢ - -® = = ¢ = ¢¢
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
® = ¢ ® Ç ¢¢ - - - - - =
ú ú ú ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê ê ê ê
ë
é
Ç ¢ Ç ¢¢ ® Ç ¢ ® =
f f
f f
f f
m.hacen- تقاطع مستقيمين : 39
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) { } ( ) ( )
( ) ( )
{ } 0
; 0 M
S
z z S
z z S M
t t
y y
x x
uNu
A S
A S
uIIu A
- -®
- - - -®
® D = D¢
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
º D Ç D¢ ® =
® ¹ - -® =
® = ® =
® ¢ ®
=
=
î í ì
® ¢®
® Ï D¢ - - - -® =
® Î D¢ ® = D = D¢
® ¢ - - - --® Î D ®
D Ç D¢ ®
D D¢
D D¢
D D¢
D D¢
f
f
f
m.hacen- تقاطع ثلاث مستقيمات: 39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ } { }
{ } ( ) { }
( ) f
f f
f f
® Ï D ---® =
® Î D¢¢ ® =
® ----------------------®
® ------------------------------------® =
® ----------® =
® --------------® =
® D = D¢¢ ® = D = D¢ = D¢¢
ú ú ú
û
ù
ê ê ê
ë
é
® D = D¢ ® D Ç D¢¢ --® =
ú ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê ê
ë
é
D Ç D¢ Ç D¢¢ ® D Ç D¢ ® =
M S
M S M
M
S
M S M
S
S
S
S
0 0
0
0 0
m.hacen- تقاطع سطح كرة و مستو : 39
( ) ( ) ( ) { }
(( ) ) { } ( ) (( ) )
(P) (( ) n )
r R d
d R S C H r cercle H P n
d R S H
d R S
S P d d P : ,
: , * * : ,
,
2 2
= Ç D W
ïî
ïí ì
= -
® ® = ® = Ç D W
® = ------------------------® =
® -------------------------® =
Ç ® = W ®
p
f f
m.hacen- تقاطع سطح كرة و مستقيم : 39
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }
{ } 1 2
0
2 2
0
2
0
2
0
0 ,
0
0
0
S M M
S M
S
S x x y y z z a t b t c D D D
® D ® =
® D = - - ® =
® D - - - - ® =
Ç D ® - + - + - ® + + = ®
f
p f
ثانوية حساني عبد الكريم
تمارين تطبيقية حول الهندسة التحليلية في الفضاء
: ( التمرين ( 1
(O i j k) الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس
r r r
, , ; نعتبر:
x + y - z + 2 = ذو المعادلة : 0 (P) و المستوي C( 0 ; - 2 ; - 3 ) و B( - 3 ;- 2 ; 3 ) , A(1 ; 2 ; -1 ) النقط
ليست في استقامية . C و B ، A 1. أ- بين أن
.(ABC) ناظمي للمستوي n( 2 ; -1;1 ) ب- بين أن الشعاع
متعامدان . (ABC) و (P) 2. بين أن المستويان
{( A;1);( B;-1);(C;2) } مرجح الجملة G 3. لتكن النقطة
. (2 ; 0 ; - 5 ) ھي : G أ- بين أن إحداثيات النقطة
.(P) عمودي على المستوي (CG) ب- بين أن المستقيم
.(CG) ج- اكتب تمثيلا وسيطيا للمستقيم
.(P) و المستوي (CG) نقطة تقاطع المستقيم H د- حدد إحداثيات النقطة
ھي سطح كرة يطلب MA-MB+ 2MC = من الفضاء التي تحقق : 12 M مجموعة النقط (S) 4. بين أن
تحديد عناصرھا المميزة .
يطلب تحديد عناصرھا المميزة . (C) يتقاطعان في دائرة (P) و المستوي (S) 5. بين أن سطح الكرة
: ( التمرين ( 2
(O i j k) الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس
r r r
, , ; نعتبر:
. 2x + 3y - z + 4 = ذو المعادلة : 0 (P) و المستوي B( - 3 ;4 ;1 ) , A(1; 2 ; - 4 ) النقطتين
اختر الإجابة الصحيحة مع التبرير :
مستقيم ذو التمثيل الوسيطي : (D) .1
ïî
ïí
ì
= +
= -
= - +
z t
y t
x t
6
7
8 2
t Î IR مع
.(P) محتوى في (D) ( لا يشتركان في أي نقطة ( ج (P) و (D) ( يتقاطعان ( ب (P) و (D) ( ( أ
: x + 4y - 3z + 4 = مستو ذو المعادلة : 0 (P¢) .2
منطبقان (P¢) و (P) ( متوازيان و منفصلان ( ب (P¢) و (P) ( ( أ
شعاع توجيھ لھ . - i + j + 2k متقاطعان في مستقيم (P¢) و (P) ( ( ج
شعاع توجيھ لھ . - i + j + k متقاطعان في مستقيم (P¢) و (P) ( ( د
ھي : B و A من الفضاء ذات بعد متساو بين M 3. مجموعة النقط
مستقيم يشمل النقطة ) أ ( ÷ø
ö
çè
æ- -
2
ب ) سطح كرة نصف قطرھا ) C 1; 3 ; 1
2
3 5
( ج ) المستوي ذو المعادلة : 0
2
. - 4x + 2y + 5z - 5 =
( د ) المستوي ذو المعادلة : 0
2
. - 4x + 2y + 5z + 5 =
MA- 3MB = من الفضاء التي تحقق : 5 M 4. مجموعة النقط
سطح كرة مركزھا ) أ ( ÷ø
ö
çè
æ- -
2
5 ; 5 ; 7 ( ب ) سطح كرة مركزھا ÷ø
ö
çè
æ - -
2
5 ; 5 ; 7
( ج ) المستوي ذو المعادلة : 0
2
. - 4x + 2y + 5z - 5 =
( د ) المستوي ذو المعادلة : 0
2
. - 4x + 2y + 5z + 5 =
: ( التمرين ( 3
. مكعب طول ضلعھ 1 ABCDEFGH
. I في النقطة (AFH) يقطع المستوي (EC) المستقيم
(D ; DA, DC , DH) في الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس
، B(1;1 ; 0 ) , A(1; 0 ; 0 ) إحداثيات رؤوس المكعب ھي :
G( 0 ; 1;1 ) ، F (1;1; 1 ) , E(1; 0 ;1 ) ،D( 0 ;0 ; 0 ) , C( 0 ;1; 0 )
. H( 0 ; 0 ;1 ) و
. (EC) 1. اكتب تمثيلا وسيطيا للمستقيم
. (AFH) 2. حدد معادلة ديكارتية للمستوي
. I 3. استنتج إحداثيات النقطة
(AFH) على E ھي المسقط العمودي للنقطة I 4. بين أن النقطة
ھي (AFH) والمستوي E 5. تحقق أن المسافة بين النقطة
3
3
متعامدان (AF ) و (HI ) 6. أ- بين أن المستقيمين
. ABC بالنسبة للمثلث I ب- ماذا تمثل النقطة
: ( التمرين ( 4
(O;i ; j ;k ) الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس
r ur ur .
C( و ( 1 ; 3 ; 3 B( 3 ; 2 ; 1 ) ، A( نعتبر النقط التالية ( 1 ; 2 ; 3
تعين مستويا ، أكتب معادلة ديكارتية له . C و B ، A 1) بين أن النقط
1 نعتبر المستويين ) 2 ( ) P ، 2 ( ) P 1 : حيث () : 2 2 1 0 P x y z - + - = 2 و (P ) : x - 3y + 2z + 2 = 0
) تقاطعهما D يتقاطعان و ليكن ( (P2 ) ، (P بين أن ( 1 (a
) D تنتمي إلى المستقيم ( C تحقق أن النقطة (b
u (2;0;- أثبت أن الشعاع ( 1 (c
) D شعاع توجيه للمستقيم ( r
) D استنتج تمثيلا وسيطيا ل ( (d
) الممثلة وسيطيا بالجملة D عن المستقيم ( A 2) لحساب بعد النقطة
2 1
3
3
x k
y
z k
= + ìï
= íï
î = - +
t Î IR مع
) D من المستقيم ( k ذات الوسيط M نعتبر النقطة
u و AM حتى يكون الشعاعان k عين قيمة (a
متعامدين r uuuur
). D عن المستقيم ( A استنتج بعد النقطة (b
: ( التمرين ( 5
(O i j k) في الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس
r r r
, , ; نعتبر:
C(3 ; 2 ; 4 ) و B( - 3 ;- 1; 7 ) , A( 2 ; 1; 3 ) النقط
ليست في استقامية . C و B ، A 1. بين أن
مستقيم ذو التمثيل الوسيطي : (D) .2
ïî
ïí
ì
= +
= -
= - +
z t
y t
x t
4
3
7 2
.t Î IR مع
.(ABC) عمودي على المستوي (D) أ- بين أن المستقيم
.(ABC) ب- حدد معادلة ديكارتية للمستوي
. (ABC) و المستوي (D) نقطة تقاطع المستقيم H 3. لتكن
{( A;-2);( B;-1) ;(C;2) } مرجح الجملة H أ- بين أن النقطة
(- 2MA- MB+ 2MC)× (MB-MC)= من الفضاء حيث : 0 M مجموعة النقط G ب- عين 1
حدد عناصرھا المميزة .
- 2MA-MB+ 2MC = من الفضاء حيث : 29 M مجموعة النقط G ج- عين 2
حدد عناصرھا المميزة
محدد عناصرھا المميزة. G1 ÇG د- عين طبيعة المجموعة 2
. G1 ÇG تنتمي إلى المجموعة 2 S( - 8 ;1; 3 ) ھ- ھل النقطة
: ( التمرين ( 6
(O;i ; j ;k ) الفضاء منسوب الى معلم
r ur ur
C( 6 ; -2 ; - و ( 1 B( 6 ; 1 ; 5 ) ، A( 3 ; - نعتبر النقط ( 2 ; 2
قائم ABC 1) بين أن المثلث (I
x + y + z – 3 = المستوي الذي معادلته 0 ( P ) 2) ليكن
. A و يمر من النقطة ( AB ) عمودي على المستقيم ( P ) بين أن
( P'') أكتب معادلة ديكارتية ل .A و الذي يشمل ( AC ) المستوي العمودي على المستقيم (P' ) 3) ليكن
. ( P' ) و ( P ) مستقيم تقاطع ( d ) 4) عين تمثيلا وسيطيا للمستقيم
عمودي على ( AD ) النقطة ذات الاحداثيات ( 0 و 4 و - 1 ) ، بين أن المستقيم D 1 ) لتكن (II
( ABC ) المستقيم
ABDC 2) أحسب حجم رباعي الوجوه
هو BD A 3) بين أن قيس الزاوية 4
راديان p
BDC 4) أ) أحسب مساحة المثلث
( BDC ) عن المستوي A ب) استنتج بعد النقطة
: ( التمرين ( 7
(O i j k) الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس
r r r
. ; , ,
. C(1 , 1 , 1 ) و B(3 , 0 , 1 ) , A( 2 , -1 , 0 ) نعتبر النقط التالية
(Q): 2x + y + 2z + 3 = و 0 (P): x + y + z -1 = حيث : 0 (Q) و (P) و نعتبر المستويين
. (Q) و عمودي على المستوي A الذي يمر بالنقطة (D) 1/ أكتب التمثيل الوسيطي للمستقيم
ثم حدد تمثيلا وسيطيا لھ. (D) متقاطعين وفق مستقيم (Q) و (P) 2/ بين أن المستويين
(R): -x + z + 2 = المعرف بالمعادلة 0 (R) 4/ ليكن المستوي
.(Q) و (P) وعمودي على المستويين B يمر بالنقطة (R) بين أن المستوي
. R = ونصف قطرھا 3 W(1 , 1 , 3 ) سطح الكرة التي مركزھا (S) 5/ لتكن
. (S) أ- أكتب المعادلة الديكارتية لسطح الكرة
. C في النقطة (S) الذي يمس سطح الكرة (E) ب- حدد معادلة ديكارتية للمستوي
يطلب تحديد عناصرھا المميزة . (C) وفق دائرة (S) يقطع سطح الكرة (P) ج- بين أن المستوي
.(S) و المماسين لسطح الكرة (P) د- حدد معادلة ديكارتية لكل من المستويين الموازيين ل
: ( التمرين ( 8
(O i j k) الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس
r r r
. ; , ,
عدد حقيقي . m حيث ، B( -1 , m, 0 ) , A(1 , 0 , 1 ) و النقطتين w(m,1,- m) نعتبر الشعاع
تشكل مستوي . O و B ، A 1/ أ- بين أن النقط
.(OAB) ثم أستنتج معادلة ديكارتية للمستوي OB×w و OA×w ب- أحسب
. x2 + y2 + z2 - 2x - 2y + 2z -1 = والتي تحقق 0 M(x, y, z ) مجموعة النقط (S) 2/ نعتبر
. R ونصف قطرھا W سطح كرة يطلب تعيين مركزھا (S) أ- تحقق أن
(S) توجد داخل سطح الكرة O ب- بين أن النقطة
. (C) وفق دائرة (S) يقطع سطح الكرة (OAB) ج- استنتج أن المستوي
.(C) ھي مركز الدائرة O التي من أجلھا تكون m د- حدد قيمة
المحصل m من أجل قيمة (OAB) و الموازيين للمستوي (S) ھ- حدد معادلتي المستويين المماسين لسطح الكرة
عليھا سابقا.
: ( التمرين ( 9
(O i j k) الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس
r r r
. ; , ,
. C( -1 , 2 , 5 ) و B( -1 , 2 , 1 ), A( 0 , 0 , 2 ) نعتبر النقط التالية
k . [-1;1] عدد حقيقي من المجال k حيث {( A;k2 +1);( B;k) ;(C;- k) } مرجح الجملة G
ليست على استقامة واحدة . C و B ، A 1/ بين أن
. G-1 ، G ثم عين إحداثيات 1 [-1;1] من المجال k من أجل كل G 2/ برر وجود
. 2 MA+ MB- MC = 2MA-MB+ MC : من الفضاء حيث M مجموعة النقط (E) 3/ عين
. 2 MA+ MB- MC = 2MA-MB-MC : من الفضاء حيث M مجموعة النقط (F ) 4/ عين
يتقاطعان . (F ) ، (E) 5/ أ- تحقق أن
. (F ) و (E) تقاطع (C) ب- أحسب نصف قطر الدائرة
BC : يكون لدينا [-1;1] من المجال k 6/ بين أنھ من أجل كل
k
AG k k 2 +1
( تقرير عن مشاركة سيئة )، و الموجودة أسفل كل مشاركة .
2012-05-27, 13:15
ممكن؟؟؟؟
العرض العادي
