لبحث عن pgcd باستعمال خوارزمية إقليدس

[rym31]

قاسم عدد طبيعي

تعريف :
تعريف قاسم عدد طبيعي : a,b عددان طبيعيان حيث b غير معدوم
إذا كان باقي القسمة الإقليدبة لـ a على b معدوما فنقول أن b يقسم a
ونكتب : a = k x b حيث k هو حاصل قسمة a على b
مثال : 3 يقسم 6 لأن 3×2 = 6
إنتبه b يقسم a يعني أن a مظاعف لـ b يعني أن a يقبل القسمة على b
بعد تعرفنا لقاسم عدد طبيعي إذن : ماهي خواص قواسم عدد طبيعي ؟؟ فالنتابع لنعرف ذلك2 – خواص قواسم عدد طبيعي

الخاصية 1 :إذا كان c يقسم كلا من a و b فإن c يقسم كلا من a+b و a-b
الخاصية 2 :إذا كان c يقسم من a فإن c يقسم الجداء a x n حيث n عدد طبيعي
الخاصية 3 :إذا كان c يقسم كلا من a و b فإنه يقسم باقي القسم الإقليدية لـ a على b
مثال :


4 يقسم 24 و 4 يقسم 8 و منه 4 يقسم 8 + 24 أي 4 يقسم 32 .





4 يقسم 24 و 4 يقسم 8 و منه 4 يقسم 8-24 أي 4 يقسم 16



مثال 2 :

6 يقسم 42 و منه 6 يقسم 3 * 42 أي 6 يقسم 126.



مثال 3 :

7 يقسم كلا من العددين 56 و 35 و منه 7 يقسم 21




هام جدا :

العدد الطبيعي 1 قاسم لكل عدد طبيعي
العدد الطبيعي 0 ليس قاسم لأي عدد طبيعي




تدريب :

أذكر 4 قواسم للعدد 56 و 5 قواسم للعدد 120.
من بين الأعداد : 20 ، 77 ، 65 ، 854 ، 2275 أذكر التي تقبل القسمة على 7 ثم التي تقبل القسمة على 5
تحقق من :

أن العدد 11 يقسم 44 + 22 و 495 + 132 { إستعن بالخاصيات المذكورة أعلاه }
أن العدد 13 يقسم 1599 – 4225 و 325 – 728 { إستعن بالخاصيات المذكورة أعلاه }




3- القاسم المشترك الأكبر لعددين :

تعريف :
القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين a و b هو أكبر قاسم مشترك لهما.
- نرمز للقاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين a و b بـ(PGCD (a,b
مثال :


قواسم العدد 12 هي : 1، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12
قواسم العدد 18 هي : 1، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18





القواسم المشتركة لـ 12 و 18 هي 1 ، 2 ، 3 ، 6
العدد 6 هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 و 18
إذن نكتب pgcd (12,18) = 6.



تدريب : أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين a , b في كل حالة مما يلي

a = 45 , b = 30
a = 32 , b = 36
a = 42 , b = 36




الخاصية 1 :القواسم المشتركة لعددين طبيعيين هي قواسم القاسم المشترك الأكبر لهما .
مثال :
قواسم العدد 20 هي : 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 10 ، 20
قواسم العدد 16 هي : 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16
القواسم المشتركة للعددين 20 و 16 هي 1 ، 2 ، 4
و عليه 4 = (PGCD (20,16
نلاحظ أن قواسم العدد 4 هي 1 ، 2 ، 4
أمل أنكم قد إستوعبتم ما سبق إذا لم تستوعبوا أي شيئ عليكم بحل التدريبات المقدمة بعد كل نهاية شرح حتى تتمكنوا من المواصلة معنا
إذن سنواصل :
4- العددان الأوليات فيما بينهما :

تعريف :
العددان الأوليان فيما بينهما هما عددان طبيعيان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1
مثال :
قواسم العدد 12 هي : 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12
قواسم العدد 25 هي : 1 ، 5 ، 25
ملاحظة :
نلاحظ أن pgcd (12;25)=1 و عليه العددان الطبيعيان 12 و 25 أوليان فيما بينهما
تدريب :أذكر إذا كان العددان a و b أوليان فيما بينهما في كل مما بلي :



a = 41 , b = 48
a = 122 , b = 136
a = 45 , b = 17




5- البحث عن pgcd باستعمال خوارزمية إقليدس

خوارزمية إقليدس : لحساب (PGCD (a,b نتبع الخطوات التالية :



نقسم a على b فنحصل على الباقي r
إذا كان r يساوي 0 فإن pgcd (a,b)=b
إذا كان r لا يساوي 0 نعوض a بـ : b و b بـ : r ثم نعيد الخطو الأولى.