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calcul vectoriel
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barycentre
Barycentre de trois points dans le plan ou dans l'espace
La définition peut se généraliser à trois points : pour tous réels a, b et c tels que a + b + c soit non nul, il existe un unique point G tel que
appelé barycentre du système pondéré {(A,a);(B,b);(C,c)}. Les points G, A, B et C sont toujours coplanaires et on démontre que , si A, B, C définissent un plan, tous les points M de ce plan peuvent s'écrire comme barycentre de A, B et C. Les pondérations s'appellent alors coordonnées barycentriques de M dans le repère A, B et C
Comme pour le barycentre de deux points, le barycentre de trois points permet de réduire l'expression vectorielle 
, pour tout point M :
Ce qui permet, en remplaçant M par l'origine du repère, de donner les coordonnées du point G
Ce barycentre possède en outre une propriété dite d'associativité ou de barycentre partiel : si a + b est non nul et si G1 est le barycentre du système {(A,a);(B,b)}, alors G est le barycentre du système {(G1,a + b);(C,c)}. Cela signifie que la construction du barycentre de trois points peut se ramener à la construction de barycentres de deux points.
Cette propriété simplifie grandement les problèmes d'alignement et de concours.
En considérant ces trois points comme les sommets d’un triangle, le centre de gravité est le point d'intersection de ses 3 médianes. Le centre de gravité est situé aux 
d'une médiane en partant du sommet.
Autrement dit, soit un triangle ABC, A' le milieu de [BC], B' le milieu de [AC], et C' le milieu de [AB] et G son centre de gravité.
Alors : 
, 
et 
. Le centre de gravité est aussi l' isobarycentre des sommets du triangle, c'est-à-dire que 
.
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2010-12-07, 13:34
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