ملخص مقالة فلسقية _ هل الرياضيات مطلقة أم نسبية ؟

{ حديث الوجدان } · 2019-02-22, 06:48

هل الرياضيات مطلقة أم نسبية ؟

جدلية

طرح الإشكالية :

حققت الرياضيات إستقلالها عن الفلسفة وعرفت بكونها مجموعة من المفاهيم العقلية التجريدية التي تهتم بدراسةالمقادير القابلة للقياس

أي المقادير الكمية بنوعيها المتصلة وهي الهندسة والمنفصلة وتتمثل في الجبر والحساب . وقد فرضت الهندسة الإقليدية آنذاك وحدانيتها

في الساحة العلمية وسيطرت على الفكر الرياضي ربحا من الزمن . إلا أن الملاحظات العلمية والتغيرات الواقعية التي كانت تحدث جعلت

العلماء والفلاسفة على حد سواء يعيدون مراجعة صدق نتائج الأسلاف ومحاولة التحقق الفعلي من بعض البديهيات الإقليدية التي كانت

موضع شك وريب ، الشيء الذي تمخض عنه هندسات جديد عرضت الرياضيات الإقليدية إلى حركة نقد وفحص داخلي فبرز بذلك جدال بين

العلماء والمناطق حول يقينها وقطعية نتائجها ، فمنهم من يرى بأنها صناعة قطعية ومطلقة في حين يرى طرف نقيض بأنها نسبية

ومتغيرة . وفي خضم هذا الجدال نلقي بالتساؤل التالي : هل الرياضيات صناعة صحيحة ويقينية أم أنها تمتاز بالنسقية والنسبية ؟ بعبارة

أخرى ، هل ظهور الهندسة اللاإقليدية ذات الأنساق المتعددة يسقط صفة المطلقية عن الرياضيات الإقليدية التي اكتسبتها من بالبداهة

والوضوح ؟ أم أن الهندسة المعاصرة ماهي إلا إمتداد للهندسة الكلاسيكية ؟

عرض الموقف الأول : المفاهيم الرياضية مطلقة :

يذهب أنصار النظرية الكلاسيكية للرياضيات على رأسهم ديكارت ، أفلاطون ، سبينوزا و باسكال إلى التأكيد على أن المفاهيم

الرياضية ذات نتائج مطلقة وصحيحة فهي لا تحتمل الريب أو الشك بل إن الدقة عنوانها وسلامة النتائج مصير كل عملياتها .

فمطلقية الرياضيات لا تتأتى من طبيعة موضوعها المجرد فحسب وإنما تتأتى أيضا من المنهج المشتق من طبيعة هذا الموضوع .

إذ أنها تستند على منهج عقلي دقيق وصائب دوما هو منهج الإستدلال الإستنتاجي القائم على الإنتقال من المقدمات إلى النتائج

اللازمة نلتمس فيها الثبات والمطلقية والوضوح الذي يفرض نفسه على العقل ولا يتعارض معه أو يتناقض بأي شكل من الأشكال .

وقد ارتبطت الرياضيات بفكرة النسق الواحد هو نسق إقليدس القائم على أسس ومبادئ البرهنة الرياضية تجلت فيكل من البديهيات ،

المسلمات وكذا التعريفات .

• فالبديهيات قضايا بينة واضحة بذاتها إذ تحمل في طياتها معيار صدقها و لا يمكن تصور نقيضها دون الوقوع في المحال .

كما أنها عامة ، شاملة لجميع العلوم فهي لا تخص علما معينا . والبديهيات قضايا تحليلية إذ أن تحليل موضوعها يدلنا على صحة

محمولها لذلك يقول المناطق : " قضية منطقية يعبر محمولها " لأن المحمول لم يفعل شيئا بالنسبة للموضوع سوى أنه حلله . من

هنا يتضح أن البديهيات رأس المنهج الرياضي وقوامه ودعامته الأساسية ، الشيء الذي جعل ديكارت يقول : " لا أتقبل شيئا على أنه

صحيح إلا إذا كان بديهيا " أي أن صحة النتائج منوطة بكونها من البديهيات وفي هذا بيان من طرف ديكارت لقيمة البداهة التي يرتكز

عليها الرياضي في البرهنة على إستنتاجاته .ولعل أبرزها في الرياضيات الإقليدية هي تلك القائلة بأنه " إذا طرحت كمية ثابتة من

متساويين جاءت النتيجة متساوية " فلو كانت لدينا المساواة التالية : 20 + 2 = 22 كل طرف يساوي 22 وعند طرح نفس العدد وهو

2 من طرفي المعادلة : 2 - 2 = 22- 20+ 2 فإننا نتحصل على نتيجة متساوية وهي 20 في كل طرف . ونجد كذلك البديهية القائلة بأن :

الشيئين المساويين لثالث متساويان " فلو كانت لدينا القضية التالية :

A = B و B = C وطلب القارنة بينA و C ، فبتطبيق البديهية السابقة نستنتج بأن A = C . وأيضا بديهية إقليدس القائلة بأن :

" الموازيان لثالث متوازيان فيما بينهما " . فالقضية التالية : (d1) يوازي (d2) ، (d1) يوازي (d3) ، أدرس الوضع النسبي لـ (d2) و (d3)

بتطبيق البديهية نستنتج بأن (d2) يوازي (d3) . ونجد أيضا بأن : " الكل أكبر من الجزء " فمساحة المنزل أكبر من مساحة المطبخ الذي

هو جزء من المنزل . ولأن مبادئ العقل التي يؤمن بها الجميع تتصف بالبداهة والوضوح فإن الشك في البديهيات أو تكذيبها هو شك

وتكذيب لمبادئ العقل التي يقوم عليها الفكر الإنساني ، وبالتالي كان لزاما التصديق القاطع بفكرة البديهية لقول سبينوزا : " البديهية

هي معيار الصدق أو الكذب " فهي بذلك الميزان الذي يقيس مدى صحة النتائج والذي من خلاله نميز الصواب من الخطأ .

• التعريفات . فالتعريف هو القول الشارح لمفهوم الشيء أو هو الحدود والإصطلاحات التي يشرحها الرياضي لتوضيح معانيه وقضاياه

الرياضية ملتزما بها في إستنتاجاته وهو نوعان أولهما التعريف التحليلي وهو الشرح الموجز الذي يعرف فيه المفهوم الى عناصر

وخصائص أساسية فمثلا المثلث هو شكل هندسي مكون من ثلاثة مستقيمات متقاطعة مثنى مثنى ومجموع زواياه يساوي 180° . أو كأن

نقول الخط هو كل ما له طول وليس له عرض أو نعرف النقطة : هي ما ليس له بعد .وثانيهما التعريف التركيبي ( أو التوليدي أو

الإنشائي ) وهو الشرح المفصل لكيفية نشوء المفهوم وحدوثه كأن نعرف الخط المستقيم على أنه ما ينشئ عن تحرك نقطة واحدة أو

نعرف الدائرة بأنها كل ما ينشئ عن دوران نقطة حول مركز ثابت ، وهذا ما يثبت صدق المفاهيم الرياضية إذ أنه لا أحد يتمكن من إبطال

التعريفات التي جاء بها إقليدس نظرا لدقتها وصدقها ما جعل كانط يقول : " إن الرياضيات تنفرد وحدها في إمتلاك التعريفات ولا يمكن

أبدا أن تخطئ " .

• أما المسلمات ( المصادرات أو الموضوعات ) فهي قضايا غير بينة بذاتها ، يصوغها الرياضي ويطلب منا التسليم بصدقها دون البرهان

عليها مع وعد منه بأنه سيشيد من خلالها بناء رياضيا منسجما ومتماسكا لذلك فهي كما يقول المناطق : " قضية تركيبية " إذ أن صدق

محمولها يتوقف على ما ينجم عنها من نتائج في الأستدلال . والمصادرات تتميز بالخصوصية لانها تختلف من علم لآخر بل قد تتعدد في

علم واحد كما يمكننا أن نتصور نقيضها دون أن نقع في التناقض أو المحال وهي لا تتمتع بالضرورة المنطقية إذ لا يمكن تعويضها

بمصادرات أخرى . فالرياضيات الكلاسيكية تنطلق من مسلمة أساسية وهي القول بالسطح المستوي وبالتالي المكان الحسي ذو الأبعاد

الثلاثة . وعلى هذا الأساس فإن درجة إنحناء السطح تساوي الصفر ما يجعل مجموع زوايا المثلث يساوي قائمتين أي 180 ° . كل ذلك

قائم على المسلمة الخامسة لإقليدس والقائلة أنه : " من نقطة خارج المستقيم لا يمكن أن نرسم سوى مواز واحد ". فمسلمة التوازي

هذه تمثل العمودي الفقري لهندسة إقليدس ومنها تستخلص جميع الخاصيات الهندسية فيما يتعلق بقياس زوايا المثلثات وطبيعة الأشكال

الهندسية وغيرها من الأمور التي تدخل ضمن نطاق المكان المستوي . ونجد أيضا المسلمة الإقليدية القائلة بأن : " الخطان المتوازيان لا

يلتقيان وأن المستقيم غير منتهي " . عليه فإن للاستدلال أو البرهان الرياضي أسسا ينطلق منها تختلف في طبيعتها وتشترك في وظيفتها

من حيث أنها تساعد بالدرجة الأولى في البرهنة على غيرها أي على إنشاء وبناء نسق رياضي متكامل يكشف عن قدرة إبداع العقل في

مجال الفكر الرياضي وما وصل إليه من تطور . واستنادا الى هذه المنطلقات ( المبادئ والأسس ) فإن الرياضي يثبت ويبرهن قضاياه

ويعمل على بنائها متبعا أساليب البرهنة في الرياضيات والتي تتم بطريقتين : الطريقة التحليلية والطريقة التركيبية .

فلو كانت لدينا المعادلة التالية : X + 2 = 22 وطلب منا إيجاد قيمة المجهول X فإننا نلجأ الى البديهية السابقة القائلة بأنه " إذا طرحت

كمية ثابتة من متساويين جاءت النتيجة متساوية " حيث أنه عند طرح نفس العدد وهو 2 من طرفي المعادلة : 2 - X - 2 = 22 + 2 فإننا

نتحصل على نتيجة متساوية وهي تمثل قيمة المجهول X والذي يساوي 20 . وهذا النوع الأول يعرف بالطريقة التحليلية المباشرة لأننا

قمنا بإرجاع قضيتنا المراد إثباتها الى قضية أبسط منها قائمة على بديهية معروفة غير قابلة للتحليل ، أي اننا قمنا بالرجوع من القضية

المعطاة الى القضية المبدأ ( صعود من النتائج الى المبادئ ) . اما النوع الثاني فهو التحليل غير المباشر أو البرهان بالخلف وهو ما تم فيه

البرهان على كذب نقيض القضية المطروحة ثم أستنتاج صدق القضية المطروحة وذلك دون أرجاعها الى المبادئ الأولية الواضحة . فلحل

القضية التالية :

y = z و z = x هل x = y ؟ نفرض أن x â‰* y فيكون بذلك x â‰* zوهذا غير صحيح حسب المعطى وبالتالي فإن

نقيض القضية كاذب فنستنتج من هذا بأن القضية x = y صائبة . أما أن يكون لدينا : x – 2 = 0 و x – 3 = 0 ثم يطلب منا التركيب

بين هاتين المعادلتين ، فإنه عند ضربهما طرفا لطرف نتحصل على معادلة من الدرجة الثانية x² - 5x + 6 = 0 وأن دل هذا على شيء

فإنه يدل على مدى البراعة و القدرة العالية للعقل على التركيب والنسج وإحكام بناء القضايا الجديدة والمركبة إنطلاقا من قضايا بسيطة إنها

الطريقة التركيبة في البرهان الرياضي .ومن هنا يتبين بأن أسس ومبادئ وكذا أساليب البرهنة الرياضية تعطي للرياضيات طابعا يقينيا

ومطلقا كونها حريصة دائمة على الإنسجام المنطقي للعقل خاصة لمبدأ الهوية الصارمفهي بعيدة عنالتناقضات و عن كل ما هو غامض

أو مبهم أو نسبي .

النقد :

................................

عرض الموقف الثاني : المفاهيم الرياضية نسبية :

أجمع أنصار الرياضيات المعاصرة على أن فكرة اليقينية في الرياضيات لا أساس لها من الصحة فهم يؤمنون بأن القضايا

الرياضية مجرد أوليات نسبية وأن منطلقات الفكر الرياضي مجرد افتراضات منسجمة ومتسلسلة بشكل منطقي مع النتائج المترتبة

عليها . ومن أنصار هذه النظرية نجد العالم لوباتشفسكي ، وريمان ، بوليغان ، جورج كانتور ، روبير بلانشي ..

ففي نصف القرن 19 ميلادي ظهرت ثورة تنويرية أدت إلى زعزعة نتائج الرياضيات فتهدم اليقين الرياضي وسقطت فكرة البداهة

المتصفة بالوضوح وحل محلها النسق الأكسيوماتيكي ، الشيء الذي جعل الرياضيات تتميز بتعدد الأنساق والتعدد يعني النسبية في

اليقين هذا التعدد تجلى في هندستي لوباتشفسكي وريمان . فقد حاول لوباتشفسكي جاهدا الانتصار لهندسة إقليدس وذلك من خلال

البرهنة على المسلمة الخامسة ( مسلمة التوازي ) ولهذا فقد إستعان بالبرهان بالخلف وذلك بإفتراض عكس القضية حتى يؤدي به هذا

الافتراض إلى نتائج متناقضة وبالتالي تثبت القضية الأصلية ، غير أن النتائج كانت معكوسة بمعنى أن لوباتشفسكي لم يحصل على

تناقض بل وصل إلى نتائج معاكسة ولكن بناءها المنطقي متماسك وخالي من التناقض أي أن النتائج متوقفة على الفروض المفترضة .

وهكذا أعلن لوباتشفسكي عن مسلمة أساسية تقول بأن المكان مقعر وبالتالي

يمكن تصوره خال من الأبعاد . وعلى هذا الأساس فإن درجة الإنحناء أقل من الصفر ما يجعل مجموع زوايا المثلث أقل من قائمتين

أي أقل من 180 ° وذلك أعتمادا على المصادرة القائلة بأنه من نقطة خارج المستقيم يمكن رسم مالانهاية من المتوازيات . ولم يقتصر

هذا على العالم لوباتشفسكي فسحب وإنما تجلى التعدد عند الألماني ريمان حيث سلم بكروية السطح وبالتالي درجة إنحناءه أكبر من

الصفر ، ومن ذلك غير التعريف الذي قدمه إقليدس حول المستقيم إذ أكد أنه مجموعة من النقط تنتهي لتشكل دائرة . فإستنتج أنه لا

يمكن رسم من نقطة خارج المستقيم أي مواز وأن مجموع زوايا المثلث أكبر من 180 ° . وبذلك فإن قلعة إقليدس ما لبثت أن تحطمت

على صخرتي لوباتشفسكي وريمان . ونجد كذلك نظرية المجموعات التي جاء بها جورج كانتور حيث أثبت بأن الجزء يمكن أن يساوي

أو يكبر الكل . فلو أخذنا مجموعة الأعداد الطبيعية 1.2.3.4.5.6.7.8.9……+âˆ‍ ونأخذ جزء منها الأعداد الزوجية 2.4.6.8 ... +âˆ‍ نلاحظ ان

المجموعتين متساويتين في (&) ولا تكون الأولى اكبر الا إذا حددنا المجموعتين . وبالتالي فإن ظهور الهندسات اللاإقليدية حرر الرياضي

من ربقة النسق الإقليدي وزالت فكرة المطلق الرياضي كما أكد على ذلك بوليغان : " إن كثرة الأنظمة في الهندسة لدليل على أن

الرياضيات ليس فيها حقائق مطلقة " . فظهور الهندسات اللاإقليدية جعل الرياضيين والمناطقة المحدثين يعتبرون أي بناء رياضي مجرد

نسق فرضي استنباطي أي يقوم على اسس إفتراضية ، لم يقدم البرهان أي شيء عن صحتها وأن كل ما في الأمر هو وجود إنسجام

وتسلسل منطقي بينها وبين النتائج المترتبة عليها .

فالرياضيون لم تعد تهمهم فكرة الملاءمة أو بساطة ووضوح المبادئ والأوليات التي

إعتبروها مجرد مواضعات) بل حصروا اهتماماتهم في رفع كل تناقض قد يطرأ بين المنطلقات الإفتراضية ( المقدمات ) والنتائج المترتبة

عنها وذلك وفق لمعيار انطباق الفكر مع ذاته مثلما يؤكد على ذلك زكي نجيب محمود في كتابه " المنطق الوضعي " .

كما أننا لو عدنا الى الواقع الحسي ، لا نلمس اليقين الذي تزعمه الرياضيات ذلك أنه عند قياس مساحة حقل مربع

الشكل مثلا ، فإن القاعدة الهندسية لا تعطي قيمة مطلقة لكون الحقل مربع الشكل تقريبا والشأن نفسه بالنسبة للعدد ¶ حيث أنه عند

محاولة تقديره حسابيا وعمليا فإنه ينزل دون الدقة لكونه يتعلق بالدائرة وقطرها فقط إذ أن العدد ¶ يساوي 3.14 أي 7/22 غير أن

القيمة الفعلية ل 7/22 هو أكثر من 3.14 . وهذا يدل على أن الرياضيات تسقط في التقريبات وتنسلخ من الدقة والمطلقية إذا تعلق

الأمر بالتطبيقات التجريبية .

وقد إنتقد بلانشي التعريفات الرياضية وإعتبرها مجرد حدود لغوية لا أساس لها من المطلقية ولا تمت

باليقين بأية صلة ولا ترتبط معه بأي شكل من الأشكال ذلك أنها تعطي وصفا للمكان الذي هو في الواقع الحسي تماما مثل التعاريف في

العلوم الطبيعية وبالتالي لا يمكن الحكم على صدقها أو كذبها . وقد انتقد فكرة البداهة من خلال كتابه الأكسيوماتيك بقوله : " لم تعد

الرياضيات اليوم تتحدث عن المنطلقات الرياضية بإعتيارها مبادئ بديهية لأنها في الحقيقة مجرد إفتراضات نابعة لإختيار العقل

الرياضي الحر ".وبالتالي فإن هندسة إقليدس لم تعد توصف بالكمال المطلق أو تمثل اليقين الفكري الذي لا يمكن نقضه .

النقد :
......

التركيب :

مما يأخذ على كلا النظرتين أنهما عالجتا المسألة من ناحية واحدة ثم عممت كل نظرية نتائجها فأصابت بعض الحقيقة كما أنها بالغت

في أثبات مبدئها وإنكار مبدإ خصومها . ففي الوهلة الأولى تبدو مصادرات كل نسق رياضي متناقضة فيما بينها لكن الحقيقة أنها كلها

صادقة ويقينية مادامت لا تتناقض مع المبدأ الذي استندت إليه أي لا تتناقض مع مفهوم المكان الهندسي الذي إنطلقت منه بحدوده

ومسلماته ونتائجه سواء كان ذلك المكان مستويا ، مقعرا أو كرويا ، وأن كل ما في الأمر أن مصادرات إقليدس هي الأكثر تناسبا مع

مشاهدتنا الحسية وأنها أصبحت واحدة من بين تلك الهندسات القطعية المفترضة بمسلماتها الخاصة بها . وفي هذا الصدد يقول روبير

بلانشي " أما بالنسبة للأنساق في حد ذاتها فلم يعد الأمر يتعلق بصحتها أو بفسادها اللهم إلا بالمعنى المنطقي للانسجام أو التناقض

الداخلي، والمبادئ التي تحكمها ليست سوى فرضيات بالمعنى الرياضي لهذا المصطلح ."

ومن وجهة نظرنا ، نعتقد بأن ظهور الهندسات اللاإقليدية لا يستدعي الحديث عن أي الهندسات هي المطلقة وأيها هي النسبية وإنما يتطلب

ذلك الحديث عن أي الهندسات الأكثر ملاءمة في المكان الهندسي المعتبر للدراسة وهذا ما يذهب إليه بوانكاري بقوله : " إن البحث عن أي

الهندسات صحيحة سؤال لا معنى له " .

حل الإشكالية :

نستخلص من خلال هذا الطرح أن كل نسق رياضي هو خصب ويقيني قي مجاله ، فالنسق الاقليدي صحيح في المستوي ، و نسق ريمان في

السطح الكروي ونسق لوباتشوفسكي في السطح المقعر ، لهذا يقول بوانكاري : " إن هندسة ما ليست أكثر يقينا من هندسة أخرى وإنما فقط

أكثر ملاءمة " وذلك شريطة أن يخلو من التناقض الداخلي أثناء الإنتقال من المقدمات إلى النتائج . وهكذا فان تتعدد الأنساق في المنهج

الرياضي لا يقلل من دقته حيث تبقى الحقيقة الرياضية مثالا قويا في الدقة و الصرامة المنطقية واليقين القطعي ، فهي تعبر بالفعل أن أرقى مستويات التفكيــــــــــر .

{ حديث الوجدان } · 2019-02-22, 06:56

أتمنى ان تسفيدوا منها خاصة من ناحية المنهجية حتى تتبعوها في باقي مقالتكم

ملاحظة : حاول ان تفهم المقالة والتعبير عنها باسلوبك الخاص وبشكل بسيط فذلك يعطي غنطباعا جيدا للمصحح .

وفقكم الله وسدد خطاكم .