أولمبياد منتديات الجلفة: الموضوع 1 - الصفحة 3

هـارون · 2012-06-21, 10:09

هذه محاولتي للسؤال الأول (في نصف ساعة نصف ساعة )

$f(1)=z : z+f(2)=4f(2)\Rightarrow f(2)=\frac{z}{3}\\ \\ z+\frac{z}{3}+f(3)=9f(3)\Rightarrow f(3)=\frac{z}{6}\\ \\ z+\frac{z}{3}+\frac{z}{6}+f(4)=16f(4)\Rightarrow f(4)=\frac{z}{10}\\$

سنلاحظ أن :

$f(n)=\frac{2z}{n(n+1)}$

و هذا بسيط لأن المقامات هي حدود متتالية مجموع الأعداد الطبيعية

ثم نثبتها بالتراجع : بديهيا انها صحيحة من اجل 1 و 2 يبقى الاثبات من أجل n+1

$(n+1)^2f(n+1)=n^2f(n)+f(n+1)\\ \\ n(n+2)f(n+1)=n^2f(n)\rightarrow f(n+1)=\frac{nf(n)}{n+2}\\ \\ \\ {\color{red}f(n)=\frac{2z}{n(n+1)}}\\ \\ \\ f(n+1)=\frac{2z}{(n+1)(n+2)}$

و هذا هو المطلوب

نطبق العلاقة :

$f(2012)=\frac{2z}{2012\times2013}=\frac{2}{2013}$

BACBAC2015 · 2012-06-21, 10:14

جيد أخي، جيد
واش من سنة أنت؟

هـارون · 2012-06-21, 10:19

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة BACBAC2015

السلام،
إلى : (مبتدئ الرياضيات)
أولا أنا أخوك لا أختك هههههه.
ثانيا جيد جدًا أخي على المحاولة، لكن كنت أفضل أن تكون بطريقة أبسط. جيد رغم أنه ليس واضحـًا في الأخير

المدة : 4 ساعات كاملة ، لكن 4 تمارين.
نعم يوجد أولمبياد كل سنة

+ سؤال : هل يوجد في هذا المنتدى طريقة لاستعمال الرموز الرياضية كما فعلت؟ لأني أكتب بالوورد ثم أضعها

إليكم حل التمرين الثالث:

آسف أخطأت في ايصال الفكرة السؤال الثالث :

ما كنت أقصد هو بشكل ابسط كالتالي :

$\frac{1}{2}(\frac{1+ab}{1+a})=\frac{1}{2}(a\times\frac{c+1}{bc+1})$

ثم نستخدم AM-GM

$\frac{1}{2}(a\times\frac{c+1}{bc+1}+\frac{1+ac}{c+1})\geq\sqrt{a\times\frac{1+ac}{bc+1}}$

نعيد الكرة ثم نستخدم AM-GM

ان لم تصلك فكرتي سأكتب كل شيء

=======================
أما كتابة المعادلات فأنا استخدم هاذ الموقع

https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

هـارون · 2012-06-21, 10:20

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة bacbac2015

جيد أخي، جيد
واش من سنة أنت؟

سنة ثانية==| العام الجاي ثالثة

لكن معتاد على تمارين الأولمبياد (خاصة المتباينات و معادلات الدوال )

BACBAC2015 · 2012-06-21, 10:27

جيد أخي ربي يوفقك

BACBAC2015 · 2012-06-21, 10:31

الأخت فتيحة إليك الحل الذي أجاب عنه الأخ (مبتدئ الرياضيات) ، فقط سأعيده بالخطوات لك:
ملاحظة : في أسئلة الأولمبياد أجيبي بأي طريقة شئتي تمكن من الوصول إلى الحل

هـارون · 2012-06-21, 11:14

التمرين الثاني :

أظن أن أصعب تمارين الأولمبياد لي هي الهندسة و هذا النوع من التمارين (combinatorics) لأن من الصعب تحويله إلى معادلات

هذه محاولتي :

لنقل n حلقة إلى مسمار آخر نقوم بالتالي :

ننقل الصغرى الى أحد المسمارين (خطوة 1)
ننقل الثانية إلى المسمار الآخر (خطوة 2 )
ننقل الصغرى فوق الثانية (خطوة 3)

اذا وجد n=2 انتهى الأمر

إذا كان أكبر من 2 نعيد

ننقل الثالثة إلى مسمار فارغ (خطوة 3 )

ثم ننقل الحلقات السابقة فوق الثالثة (خطوة 4)

يعني للانتقال من عدد n إلى عدد n+1 نستخدم نقلتين و تبقى هذه العلاقة صحيحة

إذن لنقل 2012 حلقة نستخدم $3+2010\times2=4023$

=========================================
كما ترى لم أستخدم أي قوانين أو شيء فقط المنطق

لذا انتظر تصحيحك لحلي

شكرا

BACBAC2015 · 2012-06-21, 11:21

لا أخي الحل خاطئ، بالإمكان الإعادة، ليكن n عدد الحلقات وk عدد التحريكات أعط قيم لـn وأوجد k ثم استنتج عبارة k بدلالة n

fatiha2012 · 2012-06-21, 11:45

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مبتدئ الرياضيات

هذه محاولتي للسؤال الأول (في نصف ساعة نصف ساعة

)

$f(1)=z : z+f(2)=4f(2)\rightarrow f(2)=\frac{z}{3}\\ \\ z+\frac{z}{3}+f(3)=9f(3)\rightarrow f(3)=\frac{z}{6}\\ \\ z+\frac{z}{3}+\frac{z}{6}+f(4)=16f(4)\rightarrow f(4)=\frac{z}{10}\\$

سنلاحظ أن :

$f(n)=\frac{2z}{n(n+1)}$

و هذا بسيط لأن المقامات هي حدود متتالية مجموع الأعداد الطبيعية

ثم نثبتها بالتراجع : بديهيا انها صحيحة من اجل 1 و 2 يبقى الاثبات من أجل n+1

$(n+1)^2f(n+1)=n^2f(n)+f(n+1)\\ \\ n(n+2)f(n+1)=n^2f(n)\rightarrow f(n+1)=\frac{nf(n)}{n+2}\\ \\ \\ {\color{red}f(n)=\frac{2z}{n(n+1)}}\\ \\ \\ f(n+1)=\frac{2z}{(n+1)(n+2)}$

و هذا هو المطلوب

نطبق العلاقة :

$f(2012)=\frac{2z}{2012\times2013}=\frac{2}{2013}$

أخي عذرًا لكن لما تسمي نفسكـ مبتدئ الرياضيات فأنت بهذه الطريقة محترف (راك تبعد في العين )
الله يباركـ ربي يكملك

هـارون · 2012-06-21, 11:54

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة BACBAC2015

لا أخي الحل خاطئ، بالإمكان الإعادة، ليكن n عدد الحلقات وk عدد التحريكات أعط قيم لـn وأوجد k ثم استنتج عبارة k بدلالة n

$k=3+2(n-2)\\ \\ \\ k=2n-1$

ما رأيك ؟؟

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة fatiha2012

أخي عذرًا لكن لما تسمي نفسكـ مبتدئ الرياضيات فأنت بهذه الطريقة محترف (راك تبعد في العين )
الله يباركـ ربي يكملك

كنت استخدم هذا الاسم (maths beginner) في منتدى رياضيات أجنبي

كطريقة لشكرهم سأبقى أستعمله (من تواضع لله رفعه) ===| و الحمد لله ربما كان سببا في تطوير قدراتي

BACBAC2015 · 2012-06-21, 12:00

لا أخي، تعلم (مبتدئ) هذا التمرين راني درت قدامو 3 نجوم ، إذا نقول لصاحبي أبدا من جديد

دير n=1 ، ثم 2 واحسب k ثم 3 ثم 4 حتى توصل 5 ، ثم باش تقدر تبانلك العبارة صح

هـارون · 2012-06-21, 12:33

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة BACBAC2015

لا أخي، تعلم (مبتدئ) هذا التمرين راني درت قدامو 3 نجوم ، إذا نقول لصاحبي أبدا من جديد

دير n=1 ، ثم 2 واحسب k ثم 3 ثم 4 حتى توصل 5 ، ثم باش تقدر تبانلك العبارة صح

شكرا أخي أخطأت في فهم السؤال

السؤال يطلب كل حلقة بتحريكة أما أنا فقمت بحساب كل خطوة = تحريكة

أظن ان الحل سيكون كالتالي :

$k=\frac{n(n+1)}{2}$

BACBAC2015 · 2012-06-21, 12:59

للأســـف لا، قلتلكم حتى توصل 5 حلقات باش تقدر تتخيل العبارة

إذا كنت تحب الســـــكا يب : فـ

معا تهزو قولي باش نمسحو

konan25 · 2012-06-21, 14:21

شكرا اخي التمرين الثاني يسمى في الخوارزميات tour de Hanoi

BACBAC2015 · 2012-06-21, 14:28

حسنا، التمرين الثاني هو الوحيد المتبقى دون حل