طرق حل معادلات كثيرة الحدود

[أستاذ علي]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة soundes-bem

شكرا يا أستاذ لكن عندي وحدة الاشكالية في حل معادلة من الدرجة الثالثة لاني انا انتقل الي السنة الاولى ثانوية واحب الاطلاع كثيرا على الموضيع وفجأة صادمتني معادلة من الدرجة االثالثة حاولتوا فهمها من خلال اليوتيوب ولكن لم افهمها جيدا اريد توضيح اكثر لو سمحت يا أ ستاذ

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة soundes-bem

بالنسبة للمعادلة:

هذا النوع من المعادلات يسمى معادلة حدودية أو معادلة احد اطرفها كثير حدود وعلى ما أظن قد اطلاعتي عليها :
https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%...AF%D9%8A%D8%A9
في الرياضيات، المعادلات الحدودية أو معادلات متعددات الحدود (بالإنكليزية: Polynomial equations) هي معادلات تأخذ الشكل التالي:

حيث , معاملات المعادلة, والهدف هو إيجاد جميع قيم المجهول ونقول أن كثير الحدود من الدرجة الأولى إذا كانت أعلى قوة لـ تظهر في المعادلة هي واحد. وهي من الدرجة الثانية إذا كانت أعلى قوة لهي اثنين وهكذا دواليك. إذن نقول أن كثيرة الحدود من الدرجة إذا كانت أعلى قوة ل هي . وتقول المبرهنة الأساسية في الجبر أن لكل معادلة حدوددية من الدرجة يوجد عدد من الحلول (ذلك إذا إحتسبنا الحلول المكررة أي التي يجب أن نعدها مرتين). كما تجدر الإشارة إلى أن كل معادلة حدودية ذات معاملات تنتمي إلى الأعداد الحقيقية إن كان لها حلول تنتمي إلى الأعداد المركبة فإن هذه الحلول تكون دائما مترافقة أي أنه يكون دائما هناك حل في شكل وآخر في شكل . أما إذا كانت المعاملات عقدية فإن ذلك ليس صحيحا.
توضيح المبرهنة الأساسية في الجبر

إذا اعتبرنا المعادلة التالية:

فإن الحل هو ولكن يتم اعتبار هذا الحل مكررا مرتين لأننا يمكن أن نكتب المعادلة بالشكل التالي:

و لذلك نرى أنه لتكون المعادلة صحيحة يجب أن يكون القوس الأول يساوي صفرا أو الثاني يساوي صفرا وفي كل مرة يعينا ذلك حلا أي أن الحل مكرر مرتين. كذلك إذا اعتبرنا

فإن الحل هو ولكنه مكرر مرة إلخ.... بهذه الطريقة تتم حساب عدد الحلول. وعلى أساس ذلك يكون كما هو مذكور أعلاه لكل معادلة حدودية من الدرجة عدد من الحلول

طرق حل معادلات كثيرة الحدود

المعادلة من الدرجة الأولى

حل المعادلة: هو حيث , ونستطيع حل معادلات الدرجة الأولى بكل سهولة فمثلا:- مثال 1:- حل المعادلة التالية س+5=10 الحل: س+5-5=10-5 وبالاختصار نجد أن: س=5 بحيث لو عوضنا بقيمة س نحصل على الناتج 10 وهذا كايلي : 5+5‏=‏10 وهناك طريقة أخرى وهي نقل الحد الثاني إلى الجهة الأخرى بعكس إشارته. س=10-5 ومنه : س=5

المعادلة من الدرجة الثانية

لحل المعادلة: , نحسب المميز المعرف ب: , ويكون للمعادلة حلان هما:

المعادلة من الدرجة الثالثة

طريقة كاردان
طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.
هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطات بدلالة و حلول المعادلة: . وهي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من الدرجة 3 يمكن حلها جبريا.
صيغ كاردان

بالنسبة للمعادلة: , نحسب ,, ثم ندرس إشارته.
Δ موجب

نضع





الحل الوحيد الحقيقي هو:

و حلان عقديان مترافقان:



حيث


Δ سالب
يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب لـ

المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:

تفسير الطريقة
الصيغة المختصرة
نعتبر الصيغة العامة للمعادلة:

نضع:

لنحصل على الصيغة:

نضع الآن:
\الآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد, لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
شرط التبسيط يكون إذن:
الذي يعطي من جهة:
و من جهة أخرى:
و عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين و الآتية :


و هما إذن عددين نعرف جمعهما وجذاءهما. هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة الثانية:


يرجي كتابة الصيغ الرياضيات مع ادراجها على شكل صور في المنتدى من خلال الموقع التالي

https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

يتبع ....إن شاء الله .......