كيف تحل مسألة؟

[*الطالب المجتهد*]

كيف تحل مسألة رياضية أو غير رياضية؟

هيكل الموضوع:

- مراحل حل مسألة
- الأسئلة و التوجيهات التي تتضمنها هذه المراحل (الثبت)
- شرح موجز للثبت
- العمل اللاوعي
- الفكرة النيرة
- رسالة للمعلم
- مسائل الرياضيات و الفائدة التربوية
- مثال تطبيقي على الخطوات

مقدمة:

"إن مثل الذي يبحث عن حل لأي مسألة كمثل رجل يسير في قاعة مظلمة فهو يتلمس سبيله بحثاً عن معالم يعرفها تحدّد له موضعه من القاعة عساه بعدئذ يشق طريقه إلى المنفذ الذي يريده.. و الذي يسير في القاعة المظلمة قد يدور، و هو لا يدري، في حلقة مفرغة، أو هو قد يرتطم بحائط أو يتعثر أو قد يفقد الأمل فيقعد يندب حظه، إن هو لم يُحسن تلمس سبيله و لم يتذرع بالصبر و الجلد و العزيمة الصادقة في الخروج من مأزقه و هذا هو شأن الذي يبحث عن الحل." [1] الموضوع التالي موضوع عام يهدف إلى وصف أو التعبير عن المراحل الطبيعية للبحث عن حل أي مسألة حلاً صحيحاً، بغض النظر عن طريقة الحل و حقيقة أنه في الغالب هناك طرق متعددة لحل المسألة الواحدة. و هي موضوع كتاب How to Solve Itللأستاذ جورج بوليا عام 1944 و قد تم تنقيحه و تصديره عدة مرات بعد ذلك. و هذه المراحل تتضمن مجموعة من أسئلة و توجيهات عامة تفيد في حل المسائل. و هو يقصد بالمسائل أي مسائل سواء الرياضية أو غيرها. فكل من المراحل و الأسئلة و التوجيهات تعد بصورة غير مباشرة نماذج من عمليات ذهنية تفيد في حل المسائل، و هذه العمليات مرتبة بالترتيب الذي يغلب أنها ترد على الخاطر فيه. فهي (الأسئلة و التوجيهات) طبيعية بسيطة ظاهرة للعيان مستمدة من الإدراك الفطري و لكنها تعبر عن هذا الإدراك بلغة عامة. فهي تقترح المسلك الذي يسلكه فعلاً كل شخص يهمه حل مسألته و لديه شيء من هذا الإدراك الفطري. و لكن الشخص الذي يتبع السبيل السوي في حله قد لا يهمه أن يعبر عن مسلكه هذا بصورة واضحة، أو قد لا يستطيع، فالثبت محاولة لتأدية مثل هذا التعبير. "فالأسئلة و التوجيهات التي يضمها ثبت المؤلف تقوده إلى اكتشاف امارات تنير له طريق سيره و تعرفه إن كان يدور في حلقة أو كان يقترب من الحل أو كان على شفا الوقوع في مأزق جديد، و هي عدا ذلك تحول بينه و بين اليأس و تبعث في نفسه الأمل بالفوز." [1] و الموضوع مفيد لأي طالب سواء كان في مدرسة ثانوية أو كلية جامعية أو أي فرد يدرس رياضيات، كما أنه مفيد للمدرس و المراد به كل من يقوم بتدريس الرياضيات سواء كان في مدرسة ثانوية أو كلية جامعية و كل من يعني بأساليب تدريسها و هو بشكل عام مفيد لأي شخص أمامه مسألة (أياً كانت) يبغي لها حلاً.
ولكن قبل كل شيء لا ننسى التوكّل على الله و طلب العون منه.

مراحل حل مسألة:

1/ فهم المسألة.
2/ رسم خطة للحل.
3/ تنفيذ الخطة.
4/ مراجعة الحل(دراسته) و مناقشته.


.....................
الموضوع منقول للفائدة

[*الطالب المجتهد*]

ثبت البحث عن الحل (الأسئلة و التوجيهات)

1- فهم المسألة. و هنا ينبغي أن نتبين المطلوب بوضوح.
ما هو المجهول؟ ما هي المعطيات؟ ما الشرط؟ هل يمكن أن يتحقق الشرط؟ هل يكفي الشرط لتعيين المجهول ؟ أم فيه نقص؟ أم زيادة؟ أو تناقض؟
ارسم شكلاً و ضع الرموز المناسبة. افصل أجزاء الشرط بعضها عن بعض. هل لك أن تكتبها؟


2- ابتكار الخطة. فهم الروابط بين عناصر المسألة و صلة المجهول بالمعطيات كي تتجلى لنا فكرة للحل و نتمكن من رسم خطته.
هل رأيت المسألة من قبل؟ هل رأيتها بشكل آخر قريب؟

أ- جد الرابطة بين المعطيات و المجهول.

هل تعرف مسألة ذات صلة بمسألتك؟ هل تعرف نظرية قد تفيدك؟
انظر إلى المجهول. و حاول أن تتذكر مسألة تعرفها فيها هذا المجهول أو مجهول يشبهه.

ب- قد تضطر إلى التفكير في مسائل مساعدة، إذا لم تستطع أن تجد رابطة مباشرة.

هذه مسألة ذات صلة بمسألتك و قد حلت من قبل. هل يمكنك أن تستعملها؟ هل يمكنك أن تستعمل نتيجتها؟ هل يمكنك أن تستعمل طريقتها؟ هل ينبغي عليك أن تدخل عنصراً جديداً مساعداً كي يمكنك أن تستعملها؟

ج- يجب أن تحصل في النهاية على خطة للحل.

هل يمكنك أن تذكر المسألة بعبارة من عندك؟ هل يمكنك أن تذكرها بعبارة أخرى؟ ارجع إلى التعاريف.

إذا لم تستطع أن تحل هذه المسألة فجرب أن تحل أولاً مسألة ذات صلة بها. هل تذكر مسألة ذات صلة بها أسهل حلاً؟ مسألة أعمّ؟ مسألة أخصّ؟ مسألة على قياسها؟ هل يمكنك أن تحل قسماً من المسألة؟ خذ جزءاً من الشرط و أهمل الباقي: فإلى أي حد يتحدد الآن المجهول؟ كيف يمكنه أن يتغير؟ هل يمكنك أن تستنتج شيئاً مفيداً من المعطيات؟ هل يمكنك أن تفكر في معطيات أخرى مناسبة لإيجاد المجهول؟ هل يمكنك أن تغير المجهول أو المعطيات أو كليهما إذا لزم الأمر إلى مجهول و معطيات أقرب إلى بعض؟
هل استعملت كل المعطيات؟ هل استعملت الشرط كله؟ هل أخذت بعين الاعتبار كل المبادئ الجوهرية في المسألة؟


3- تنفيذ الخطة.

أثناء تنفيذ خطتك للحل، حقق كل خطوة. هل يمكنك أن ترى بوضوح أن الخطوة صحيحة؟ هل يمكنك أن تثبت صحتها؟

4- مراجعة الحل حين يكتمل (المقصود دراسة الحل: طريقته و نتيجته) و مناقشته.
افحص الحل الذي حصلت عليه.
هل يمكنك أن تتحقق من النتيجة؟ هل يمكنك أن تتحقق من الطريقة؟ هل يمكنك أن تجد النتيجة (أو الحل) بطريقة أخرى؟ هل يمكنك أن تتصورها بلمحة؟ هل يمكنك أن تستعمل النتيجة أو الطريقة في حل مسألة أخرى؟


* مثال بسيط لتوضيح المقصود بالمجهول، المطلوب، و الشرط/
الأجزاء الرئيسية في مسألة الإيجاد هي المجهول و المعطيات و الشرط:
فإذا كان المطلوب رسم مثلث أضلاعه أ، ب، ج فالمجهول هو المثلث و المعطيات هي الأضلاع أ، ب، ج و المثلث يجب أن يحقق الشرط و هو أن تكون أطوال أضلاعه أ، ب، ج. أما إذا كان المطلوب أن نرسم مثلثاً ارتفاعاته أ، ب، ج فالمجهول شيء من نوع المجهول السابق و المعطيات هي نفس المعطيات السابقة و لكن الشرط الذي يربط المجهول بالمعطيات شرط جديد.

[*الطالب المجتهد*]

شرح موجز للثبت:-


1- فهم المسألة:

من العبث مباشرة العمليات الحسابية أو الإنشائية، أو عموماً مباشرة التفكير أو الشروع في الحل، قبل التأكد من فهم المسألة بوضوح. ففهم المسألة نصف الحل كما يقال. و مثل هذا يحدث كثيراً داخل المدرسة و خارجها. فعلى المدرس أن يمنع حدوثه في الفصل، و على الطالب أن يفهم السؤال و فوق ذلك عليه أيضاً أن يعقد العزم على حله.

و قبل كل شيء ينبغي أن تُعرض المسألة بلغة مفهومة. و باستطاعة المدرس أن يتأكد من ذلك إلى حد ما فيسأل أحد الطلبة أن يعيد نص المسألة و ينبغي أن يكون بإمكانهم أن يعيدوه بطلاقة. كما ينبغي أن يعرفوا عناصر المسألة الرئيسية، المجهول و المعطيات و الشرط. و لذا يجد المدرس أن لابد من إلقاء الأسئلة: ما المجهول؟ ما المعطيات؟ ما الشرط؟

و على الطالب أن يمعن النظر في العناصر الرئيسية للمسألة و يقلبها من جوانب عدة، و إذا كان ثمة شكل يرتبط بالمسألة فعليه أن يرسم الشكل و يشير عليه إلى المجهول و المعطيات. و إذا احتاج الأمر إلى إعطاء أسماء لهذه العناصر فعليه أن يختار الرموز المناسبة. و هذه بعض الأساليب المساعدة على فهم المسألة بشكل واضح.

* في كثير من الأحيان يكون عدم فهم المسألة جيداً، و ليس صعوبتها، هو المعضلة التي تعوق الوصول إلى الحل. و في الحقيقة هذا ليس فقط في المسائل الرياضية أو الفيزيائية بل في الحياة اليومية، فقد تشعر أن لديك مشكلة كبيرة وتعتقد أن ليس لها حل، ثم أنك لو نظرت لها من زاوية أخرى أو تفهمتها بشكلها الصحيح و حجمها الطبيعي لظهر لك حل لها بسهولة و تخلصت من تلك المشكلة.

[*الطالب المجتهد*]

- رسم خطة للحل: فكر في خطة أو طريقة أو استراتيجية

تتجلى لنا خطة عندما نعرف و لو هيكلاً عاماً للعمليات الحسابية أو الرسوم الهندسية التي يلزم إجراؤها من أجل الحصول على المجهول. و قد يستبين ذلك تدريجياً أو قد تسبقه محاولات تبدو فاشلة أو فترة تردد، ثم هو يتبدى فجأة كلمحة خاطفة أو "فكرة نيرة". و رسم خطة للحل يتطلب الإلمام بالمعلومات و المعارف و الحقائق و النظريات المتعلقة بالمسألة و إلا تعذّر عليك معالجتها أو التفكير في حل لها.

و أفضل ما يقدّمه المدرس للطالب هنا أن يولّد الفكرة عند الطالب بدون أي إقحام، و ذلك عن طريق أن يسأل الطلبة أسئلة(كتلك التي في الثبت) الهدف منها استعادة بعض المعارف و الحقائق و النظريات المتعلقة بالمسألة أو مسائل سبق حلها أو نظريات سبق برهنتها و التي تفيد في الوصول للحل. فالحل، أي حل، لا يجوز أن يملى على الطالب إملاء بل ينبغي أن يستدرج للحصول عليه استدراجاً حتى يراه و هو يشعر كأنه هو الذي اكتشفه. و من أجل استدراج الطالب إلى فكرة الحل يلقي المدرس أسئلة و توجيهات بسيطة تلقائية طبيعية. و لما كان من أهم الغايات التي يجب أن يتوخاها كل مدرس ( و كل مؤلف) إظهار الدافع إلى كل خطوة من خطوات الحل و السبب الذي من أجله نخطوها و جعل هذا الدافع يبدو تلقائيا فيلزم إذاً أن نتجنب ذكر أي سؤال أو توجيه خاص لا يعرف الطالب كيف دار في خلدنا. فإذا كان حل المسألة يعتمد على استعمال نظرية فيثاغورس مثلاً، فالاتجاه الصحيح أن نتروى قليلا لعل النظرية ترد على خاطر الطالب تلقائيا. فإن هي لم ترد فالنسأله: هل تعرف نظرية تفيدك ؟ و لنفسح له مجالا للتنقيب في النظريات التي يعرفها، فإن لم يتذكر النظرية التي تنفعه فليتسع صدرنا لإلقاء أسئلة أخرى تساعده على تذكرها، و لكن لا يجوز في حال من الأحوال أن نختصر الطريق فنلقي بمثل السؤال: ما قولك في نظرية فيثاغورس؟ فنكون هنا قد فشلنا في توليد الفكرة لدى الطالب بلا إقحام أو تدخل.

و أحياناً ما يكون من المناسب في هذه المرحلة (مرحلة رسم الخطة) أن نبدأ بالسؤال: هل تعرف مسألة ذات صلة بمسألتك؟ و قد تكون العقبة هنا أن هناك الكثير من المسائل التي لها صلة بالمسألة، أي مشتركة معها في نقطة ما. فكيف نختار منها مسألة لها فائدة مضمونة؟ هناك توجيه يقول لنا: انظر إلى المجهول و حاول تذكّر مسألة تعرفها فيها هذا المجهول أو آخر يشبهه.

و قد يحدث، بينما نحاول البحث في مختلف المسائل و النظريات التي نعرفها، أن نشطّ عن المسألة الأصلية وتضيع علينا معالمها و لكن في أسئلة الثبت ما يعيدها إلى دائرة تفكيرنا: هل استعملت كل المعطيات هل استعملت الشرط كله؟

و على المدرس أن يكون مستعداً لتكرار الأسئلة التي يعجز عنها الطلاب بتعديل مبسط أو تغيير في الأسلوب، و يتوقع أن يكون الصمت جواباً في كثير من الأحيان.

* النقطة الأساسية هنا أنك تحاول إيجاد رابطة بين المعلومات المعطاة و المطلوبة حتى تستطع رسم خطة حل. و عادة يكون من المفيد هنا أن تسأل نفسك بوضوح و صراحة: كيف أربط ذهنياً المعطى بالمجهول؟ و إذا لم تجد جواباً، ربما تفيدك إحدى التكتيكات التالية:

- قم بإقامة علاقة سببية أو منطقية بين حالة المسألة و معرفة سابقة.انظر إلى المجهول و حاول تذكّر مسالة مألوفة لك أكثر كان لديها نفس المجهول.

- حاول التعرف على نمط أو أسلوب في المسألة: بعض المسائل يتم حلها بواسطة التعرف على نوع النمط الذي يحدث. هذا النمط أو الأسلوب قد يكون هندسيا، عدديا، أو جبريا. إذا كنت تشاهد أو تلاحظ نوع من الانتظام أو التكرار في المسألة. من المحتمل أن تقدر على تخمين شكل النمط الذي تنطوي عليه المسألة و من ثم برهنته.

- استخدم التشابه أو التناظر: حاول أن تفكر في مسألة أخرى مشابهة للمسألة المراد حلها أو مرتبطة بها و تكون "أسهل". فقد تعطيك مفاتيح حل مسألتك "الأصعب". مثلاً، إذا احتوت المسألة على عدد كبير من الأعداد، بإمكانك أولا المحاولة في مسألة فيها عدد أقل من الأعداد. أو مثلا إذا كانت المسألة تحتوي هندسة ثلاثية الأبعاد تستطيع أن تنظر لمسألة مشابهة في الهندسة المستوية. و إذا كانت المسألة التي عليك حلها مسألة عامة، بإمكانك أولاً المحاولة في حالة خاصة.

- تقديم شيء ما زائداً للمسألة: في بعض الأحيان يكون من الضروري تقديم شيء ما جديداً، كعامل مساعد، ليساعد في صنع ترابط بين المعطى و المجهول(المطلوب). على سبيل المثال، في المسألة التي يكون فيها الرسم التوضيحي مفيدا، قد يكون العامل المساعد هنا خطا جديدا يُرسم على الرسم التوضيحي. مثال آخر، قد يكون العامل المساعد في مسألة جبرية عبارة عن مجهول جديد مرتبط بالمجهول الأصلي.

و بالطبع هذا على سبيل المثال لا الحصر..

[*الطالب المجتهد*]

3- تنفيذ الخطة

بعد أن قمت بعمل الخطة، يأتي دور تنفيذها و هنا عليك أن تتحقق من صحة كل خطوة تقوم بها حتى تجتنب الأخطاء.

و قد تقتنع بصحة خطوة ما من تفكيرنا إما اقتناعاً "حدسياً" أو "شكلياً" فقد نركز الذهن على الخطوة فتبدو لبصيرتنا بجلاء و وضوح يجعلنا نؤمن بصحتها أو قد نستنتجها استنتاجاً حسب القواعد الشكلية. (و الفارق بين "رؤية الحقيقة" و بين "البرهان الشكلي" عليها واضح في كثير من الحالات الهامة فلندع التفاصيل للفلاسفة).

و الأساس هنا أن يؤمن الطالب إيماناً صادقاً بصحة خطواته. و لكن يستحسن أن يكشف المدرس بين حين و حين عن الفرق بين "الاقتناع" و "البرهان": أترى بوضوح أن الخطوة صحيحة؟ هل يمكنك أيضاً أن تثبت صحتها؟

و لذلك يستحسن أن يتغاطى المدرس عن السؤال عن التحقق من كل خطوة عن طريق البرهان إلا في المسائل الصعبة و الهامة. و فيما عدا ذلك يكفي التحقق حدسياً.

[*الطالب المجتهد*]

الفكرة النيرة:

و "الفكرة الجيدة" و "بارقة الأمل" كلمات تعبر عن تقدم فجائي في طريق الحل. و تراءي الفكرة النيرة تجربة تمر على كل فرد منا. و لكن ما هو التقدم نحو الحل؟ إنه تعبئة معلوماتنا و تنظيمها و تطوير فهمنا للمسألة و زيادة مقدرتنا على إدراك الخطوات التالية التي يتألف منها الحل النهائي. و نحن قد نتقدم بثبات و خطى بطيئة و لكننا بعد حين و حين نتقدم فجأة بطفرات و قفزات. و القفزة الفجائية نحو الحل هي الفكرة النيرة أو الفكرة الطيبة أو وقدة الذهن ( و لها اصطلاح فني مناسب في الألمانية هو). و ما هي الفكرة النيرة؟ إنها تغيّر مفاجئ في وجهة النظر، تعديل مفاجئ لفهمنا للمسألة، إدراك واثق مفاجئ لخطوات نخطوها من أجل الحل.

الفائدة التربوية:

إن الرياضيات ليس مجرد شيئاً يُجرى على الورق بل هناك كثير من الفوائد التربوية التي قد يجنيها الطالب من خلال المسائل الرياضية منها:

- إن هذه المراحل و الأسئلة و التوجيهات، التي نتعلمها و نتمرن عليها من خلال حل مسائل الرياضيات، عامة تقدم للبحث عن حل أي مسألة رياضية أو غير رياضية. خذ مثلاً السؤال: ما هو المجهول (المطلوب)؟ إنه عام يمكن أن يقدم لأي مسألة. فأي مشكلة تريد حلها لابد أن تعرف ما هو المطلوب أي ما الحالة أو الهدف الذي إذا تم فإن المشكلة تكون قد حلّت. إذاً فهذه المراحل و الأسئلة عامة قد توجه لأي مسألة فتؤدي إلى نتائج طيبة.

- إذا نجح الطالب في حل المسألة التي بين يديه، فقد زاد قليلاً في مقدرته على حل المسائل و لاسيما تعزيز إمكانيته و مهارته في حل مسائله في المستقبل أو في حياته بنفسه.

- اكتساب سلوك إيجابي حسن مثل الصبر و تعزيز الثقة بالنفس و العزم على النجاح بالعمل المجتهد.

- تعزيز ملكتي قوة البديهة وسعة الخيال.

رسالة إلى المدرس:

إن الدرس، أي درس، كاللوحة الفنية إذا أحسن المدرس عرضه خرج منه و قد طبع في أذهان طلابه- رجال الغد المسؤولين- فوق المعلومات المجردة حباً جديداً للبحث و ثقة جديدة في النفس و أملاً جديداً في المستقبل. تذكّر دائماً أن من أهم نتائج و توصيات علماء النفس أن يتم الاهتمام بالطالب قبل المادة، و أن الطالب قلما يفهم الحل إن هو لم يتبين الدافع إليه و الطريقة التي تم بها اكتشافه.

و المدرس الذي يبتغي أن ينمي ملكة طلابه في حل المسائل عليه أن يثير في أذهانهم بعض الاهتمام و أن يفسح لهم المجال للتقليد و المران. و إذا هو أراد أن تنشط لديهم العمليات الذهنية التي ترافق أسئلة الثبت و توجيهاته، فيجب أن يلقيها عليهم مرة بعد مرة، شرط أن تصدر طبيعية لا تكلف فيها. وفوق ذلك فهو يستطيع أن ينتهز فرصة حله لمسألة أمامهم فيجري ما يشبه تمثيلية فيلقي فيها على نفسه تلك الأسئلة التي يلقيها على طلابه، و بذا يتفق للطالب بعد حين اكتشاف طريقة استعمال هذه الأسئلة والتوجيهات استعمالاً صحيحاً، و يكون قد جنى فائدة أعظم من مجرد التعرف على حقيقة من حقائق الرياضيات.

[1] أحمد سليم سعيدان، مترجم كتاب
How to Solve It
باللغة العربية، بكالوريوس علوم في الرياضيات من الجامعة الأمريكية ببيروت و من جامعة لندن.

[2] كتاب: An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field (Dover,1954)
للمؤلف Jacques Hadamard يحكي كيف يستخدم رياضيين حقيقيين العقل اللاواعي لحل المسائل

المصدر الأساسي كتاب How to Solve It ترجمة الطبعة الثامنة 1957.