معا للتحضير للثانية ثانوي //موضوع الرياضيات//

[minamouna]

مادا نقصد بالاشتقاقية ؟؟

ما دا نعني لما نقول مثلا ان الدالة f تقبل الاشتقاق عند قيمة معينة ؟؟

حسنا يوجد مفهوم العدد المشتق لن نتطرق اليه و لكنكم سندرسه مع المعلم . سنحاول ان نفهم الان معنى الاشتقاقية هندسيا ؟؟
لما نقول اشتقاقية ؟؟ اي من الفعل اشتق بمعنى استخرج و انبثق .


اليك المنحنى الاتي






لاحظوا جيدا اننا من اجل القيمة a استطعنا ان نرسم مماسا للمنحنى في تلك النقطة .
لدلك نقول ان الدالة المبينة في الصورة قابلة للاشتقاق عند القيمة a . و قيمة العدد المشتق عند العدد a هو نفسه معامل توجيه دلك المماس .



لنكمل

مثال :
المماس دائما يكون عبارة عن مستقيم معادلته تالفية من الشكل : y = mx +b و معامل توجيهه هو m
فنفرض مثلا اننا استطعنا رسم مماس للمنحنى عند القيمة a ووجدنا ان المماس معادلته هي : y = -3 x -2
فنقول :
الدالة f قابلة للاشتقاق عند العدد a و يساوي المشتق عند هده القيمة 3- .

في المثال المدروس الدالة قابلة للاشتقاق من اجل كل القيم التي تنتمي للمنحنى . معناه من اجل كل قيمة يمكن ان نرسم مماسا .





المماس هو عبارة عن دالة تالفية و كاننا استطعنا استخراج و اشتقاق دالة تالفية من منحنى الدالة عند القيمة المعطاة .
لاحظوا اعلاه ان الدالة قابلة للاشتقاق من اجل كل قيمة تنتمي الى مجموعة تعريفها

هل فهمتم ؟؟؟



حسنا بعد مافهمنا مفهوم الاشتقاقية هندسيا سنعود الان الى مفهومها جبريا :

حسنا كل دالة لها دالة مشتقة . و الدوال المقررة لهده السنة كلها فهي دوال مشتقة على مجموعة تعريفها .
حسنا يوجد برهان بسيط يسمح بايجاد مشتقة كل دالة و لكن ستقومون به مع الاستاد لاننا هنا لا نستطيع لغياب الرموز و صعوب استخدام الكسور .



سنتوصل في الاخير الى جدول يجب حفظه و هو يشمل الدوال و مشتقاتها .



اليكم الجدول و هو يشمل بعض الدوال مع مشتقاتها ثم سنقوم ببعض الامثلة :





الدالة المشتقة يرمز لها بالرمز : f'(x) = derivee

نضيف تلك الاشارة فوق رمز الدالة


لما تكون دالة تساوي عدد فان مشتقتها هي الصفر

مثلا

f(x)=8------------->f'(x)=0


حسنا الان لما تكون دالة من الشكل ax+b فان مشتقتها هي a

تطبيق :

اوجد مشتقة الدوال التالية :

f(x) = 2x+5 ; g(x) = 3/2 x +5 ; h(x) = -5x+4 ; m(x) = x

الاجابة الصحيحة


f'(x)=2

g'(x)=3/2

h'(x)=-5

m'(x)=1




لما تكون دالة من الشكل التالي f(x) = x² مثلا فان مشتقتها هي 2x

و الدالة مكعب مشتقتها هي 3x²

كما هو موضح في الخاصية 4 من الجدول . هل هدا واضح ؟؟



مشتقة الدالة مقلوب f(x) = 1/x هي f'(x) = - 1 /x²

مشتقة الدالة جدر هي : f'(x) = 1/2racine de x

كما هو موضح في الخاصية 5 و 7 من الجدول


الان مشتقة الدالة sin هي cos
مشتقة الدالة cos هي f'(x) = - sin x



الان ادا اعطيت لنا دالة وهي مجموع دالتين وطلب منا اعطاء مشتقتها فاننا نقوم كما يلي :
f(x) = u + v
f'(x) = u' + v' معناه نشتق كل دالة و نجمعها


تطبيق :

اعط مشتقة الدالة التالية :
f(x) = 5 x +4 + racine de x


اليك الصورة اخي زهير




مادا تلاحظ ؟؟؟ مادا تستنتج حول الفائدة من دراسة مشتقة الدالة و تطبيقاتها ؟؟؟


الاجابة

لما تكون الدالة المشتقة موجبة فان الدالة متزايدة
لما تكون الدالة المشتقة سالبة فان الدالة متناقصة .
ادن في بعض الاحيان يصعب علينا دراسة اتجاه تغير بعض الدوال لدلك نلجا الى ايجاد مشتقتها . نقوم بعد دلك بدراسة اشارة المشتقة . فان كانت موجبة قلنا انها متزايدة و ادا كانت سالبة قلنا انها متناقصة .

مثال:
لدينا الدالة مربع عبارتها : f(x) = x²
مشتقتها هي : f'(x) = 2x
نلاحط ان المشتقة موجبة على المجال )00+ , 0) منه فالدالة متزايدة في هدا المجال.
نلاحظ ان المشتقة سالبة على المجال (0 ; 00 - ( منه فالدالة متناقصة على هدا المجال

مثال 02 :

لدينا الدالة f(x) = 2x+ 5
مشتقتها هي : f'(x) = 2
المشتقة دائما موجبة معناه الدالة متزايدة على R

مثال 03. :

لدينا الدالة مكعب مشتقتها 3x²
المشتقة دائما موجبة لانها جداء مربع في عدد موجب و منه الدالة مكعب متزايدة على R

حسنا الان سنتطرق الى كيفية استخراج مشتقات الدوال الاخرى :


اليكم الجزء الثاني من الجدول و الخاص بمشتقة العمليات على الدوال :




ادن شرحنا امس اول دالة موجود في الجدول و هي الدالة التي تساوي عدد . قلنا ان مشتقتها تساوي الصفر .
مثلا : مشتقة الدالة f(x) = 6 هي : f'(x) = 0

2/[لما نضرب دالة في عدد : اي دالة من الشكل[/ : K f فان مشتقتها هي : Kf' (x
مثال :
مشتقة الدالة f(x) = 6 x² هي f'(x) = 6 *(2x) = 12x
مشتقة الدالة f(x) = 8 x³ هي f'(x) = 8 *(3x² ) = 24 x²

3/ مشتقة الدالة مجموع هي مجموع مشتقة كل دالة :
مثال :
f(x) = 5x³ + 2x² + 5x+4
مشتقة هده الدالة هي :
f'(x) = (5x³)' + (2x²)' + (5x+4)' I
f'(x) = 15x² + 4x +5

هل كل شيء واضح لحد الان ؟؟


افتراضي
/ مشتقة جداء دالتين :

لتكن الدالة f تساوي جداء الدالتين u و v :
f(x) = u . v
f'(x) = u' . v + v'. u

معناه نضرب مشتقة الدالة 01 في الدالة 2 ثم نضيف لها مشتقة الدالة 2 في الدالة 1 .

مثال :

اوجد مشتقة الدالة : f(x) = 2x² . 3x+1

منه :
f'(x) = (2x²) ' . 3x+1 + (3x+1)' . 2x²
f'(x) = 4x * (3x+1) + 3 * 2x²
f'(x) = 12x² +4x +6x²
f'(x) =18 x² + 4x


هل هدا واضح ؟؟؟



اخي زهير هذا مافاتك في مجال الاشتقاقية (ونحن لم نكمله بعد )


واي استفسار انا هنا