(?, ? - ?, IIIe s. av. J.-C.
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Fondateur de l'école mathématique
Mathématicien grec. En grec Eukleidês. On ne sait pratiquement rien de sa personne, sinon qu'il vécut un peu avant Archimède, dans la ville nouvelle d'Alexandrie. Sans doute fut-il le fondateur de l'école mathématique qui illustra cette cité. Son principal ouvrage, les Éléments, résulte peut-être d'une collaboration, mais est certainement l'un des livres qui ont particulièrement marqué l'histoire de la pensée.
Les Eléments ont été connus en Occident par des traductions arabes. Ils exposent à peu près tout ce qui était connu en mathématiques à l'époque de leur rédaction, avec un souci de rigueur systématique et avec une incontestable prédominance de la géométrie sur l'arithmétique. Leur influence sur les mathématiques fut immense. Elle s'étendit même au-delà comme en témoigne par sa structure et par son style un ouvrage tel que les Principia d 'Isaac Newton.
Euclide
Les Eléments
Les Eléments sont divisés en treize livres. Le contenu se présente comme une succession de propositions. Il s'agit tantôt de théorèmes, énonçant des vérités et demandant à être prouvés; tantôt de problèmes, appelant une résolution. L'énoncé lui-même est suivi de la démonstration, ou de la résolution suivant le cas. Les notions sur lesquelles portent les propositions reçoivent une définition. En tête du premier livre figurent les définitions des objets les plus simples de la géométrie: le point, la droite, etc. On y trouve également les postulats et les axiomes. Ces derniers sont des «notions communes», sortes de règles de portée très générale, applicables aux nombres comme aux grandeurs géométriques. Les postulats, au nombre de cinq, sont les énoncés dont il est demandé d'admettre la validité afin que les démonstrations disposent d'un point de départ. Le cinquième postulat équivaut à dire que par un point il passe une parallèle et une seule à une droite donnée. Son caractère de moindre évidence a induit des recherches pour tenter de le démontrer à partir des quatre premiers. C'est de l'échec de ces tentatives que sont nées les géométries non-euclidiennes.
Les treize livres
Les premiers livres des Éléments portent sur la géométrie plane. Le livre V expose une théorie des proportions d'une ampleur et d'une rigueur telles qu'elle n'eut pas d'équivalent avant le XIX e siècle. Elle porte sur les rapports des grandeurs. Celles-ci peuvent être géométriques (longueurs, aires, etc), comme elles peuvent être arithmétiques (nombres) ou même encore de nature autre. Euclide différencie les rapports de grandeurs en commensurables (ou rationnelles) et incommensurables (ou irrationnelles).
Le livre VI expose l'application de cette théorie aux figures semblables. Les trois suivants portent sur les nombres, le dixième est consacré aux grandeurs irrationnelles et les derniers à la géométrie dans l'espace.
Le livre XIII, en particulier, expose la construction des cinq solides réguliers (pyramide, octaèdre, cube, icosaèdre et dodécaèdre). Euclide écrivit quelques autres ouvrages, en géométrie, en optique et en musique.