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المشاركة الأصلية كتبت بواسطة RyuuZaki13
السلام عليكم و رحمة الله تعالى و بركاته
شباب لو سمحتم مطلوب حل لهذين التمرينين الخاصين بمادة analyse سنة أولى
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السلام عليكم
بالنسبة لتمرن الأول
la fonction x--->sin(n)
n'admettent pas une limite à +infinie
il est clair que toute fonction ne converge pas est divergente
on suppose que n->sin(n) convergente alors elle admet une limite L et on sait qu'une suite admet une limite alots cette limite est unique (l'unicité de la limite)
sin ( n+1 ) = sin n cos 1 + cos n sin 1
par passage à la limite : L = L cos1 + racine (1-L²) sin1
tu mets les L d'un coté, la racine de l'autre et t'élève au carré :
L²(1-cos1)²=(1-L²)sin²1
Maintenant factorisation par L² , et en utilisant que cos² + sin² = 1
2L²(1-cos1)=sin²1=1-cos²1=(1-cos1)(1+cos1)
donc L²=(1+cos1)/2 là tu as les 2 valeurs possibles.
Maintenant avec sin(2n)=2sin(n)cos(n) on a L=2L*racine(1-L²) donc L²=3/4
Alors tu déduit de tes 2 égalités que 3/2=1+cos1 ie cos1=1/2 .. et ça c'est faux . Donc L n'existe pas, et sin n n'a pas de limite