[ام شرفو]

Calcul de l’incertitude relative
En pratique, il est souvent pref´ erable ´ d’utiliser l’incertitude relative ∆f/f, que l’on peut exprimer
en pourcentage.
Il existe une methode ´ pratique permettant d’estimer directement cette incertitude relative,
sans passer par le calcul complet de l’incertitude absolue : il s’agit de la differ´ entielle logarithmique
d(ln f) = df/f, ou encore [ln f(x)]0 = f
0
(x)/f(x), qui permet d’en deduire ´ facilement
∆f/f. Cette methode ´ ne marche que si l’expression de f(x, y) ne fait pas intervenir de
sin, cos, exp, ln. . .
On suivra en pratique la methode ´ suivante :
a) on calcule ln f en fonction de ln x et ln y (ev´ entuellement apres` avoir effectue´ un dev´ eloppement
limite), ´
b) on remplace tous les logarithmes par les differentielles ´ dx/x, dy/y correspondantes (les
constantes disparaissent, puisqu’elles ne sont pas affectees ´ d’une erreur),
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c) on passe aux valeurs absolues desincertitudesrelatives|∆x/x|, |∆y/y| en utilisant l’inegalit ´ e´
triangulaire,
d) enfin, on choisit la borne superieure ´ comme estimation la plus pessimiste (c’est-a-dire ` la
plus honnete) ˆ de l’erreur sur f (on remplace le ≤ par =).
Du fait de la grande simplicite´ de cette methode, ´ on se servira autant que possible de l’incertitude
relative ∆f/f, quitte a` l’utiliser comme intermediaire ´ de calcul pour remonter a` l’incertitude
absolue ∆f.
Truc : Pour les lois lineaires ´ ou affines (f(x) = ax + b), on gagnera du temps en remarquant
que ∆f/f = ∆x/x. Pour les lois de puissance f(x) = axn
, on aura ∆f/f = |n|∆x/x.
Exemple 1 : f(x) =
√
h
2 + x
2 avec x  h → f(x) = h
p
1 + (x/h)
2 ' h + x
2/2h, soit
∆f/f = 2∆x/x. Donc se tromper de 10 % sur la mesure de x conduit a` se tromper de 20 % sur
le resultat ´ f.
Exemple 2 : On cherche a` mesurer l’accel´ eration ´ de la pesanteur g a` partir d’un pendule en
utilisant la relation T = 2π
p
L/g, ou` T est la periode ´ d’oscillation et L la longueur du pendule.
On mesure L = 15 cm a` 2 % pres` et T = 0, 8 s a` 3 % pres. ` On en deduit ´ g = 4π
2L/T2 =
9, 253 m/s2
. On veut connaˆıtre l’erreur relative sur g, c’est-a-dire ` ∆g/g.
g = 4π
2L/T2
, ln g = ln(4π
2
) + ln L − 2 ln T,
dg
g
=
dL
L
− 2
dT
T
,



∆g
g


 =



∆L
L


 + 2



∆T
T


 = 0, 02 + 2 × 0, 03 = 0, 08.
On connaˆıt donc g a` 8 % pres, ` soit une erreur absolue ∆g = 0, 08g = 0, 7402 m/s2
. Avec une
telle erreur, seul le premier chiffre apres` la virgule est significatif, et le resultat ´ final s’ecrit ´ :
gexp = 9, 3 ± 0, 7 m/s2
.
Cette valeur est bien compatible avec la valeur theorique ´ attendue gth = 9, 81 m/s2
.