\begin{array}{l}
- 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow x - 1 \le x + \sin x \le x + 1 \\
\Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{2x + 1}} \le \frac{{x + \sin x}}{{2x + 1}} \le \frac{{x + 1}}{{2x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{2x + 1}} \le f(x) \le \frac{{x + 1}}{{2x + 1}} \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{2x + 1}} \le \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) \le \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{2x + 1}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) \le \frac{1}{2} \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \frac{1}{2} \\
\end{array}